Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67871 / 47468
↖ ↑ ↗
← N 44.378840°
E  6.413269°		 ← 218.30 m → N 44.378840°
E  6.416016°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
N 44.376877°
E  6.413269°		 ← 218.30 m →
47 649 m²		 N 44.376877°
E  6.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517818450927734 y=0.362155914306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517818450927734 × 217)
    floor (0.517818450927734 × 131072)
    floor (67871.5)     		tx = 67871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362155914306641 × 217)
    floor (0.362155914306641 × 131072)
    floor (47468.5)     		ty = 47468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67871 / 47468 ti = "17/67871/47468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67871/47468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67871 ÷ 217
    67871 ÷ 131072     		x = 0.517814636230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47468 ÷ 217
    47468 ÷ 131072     		y = 0.362152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517814636230469 × 2 - 1) × π
    0.0356292724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11193266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.362152099609375 × 2 - 1) × π
    0.27569580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.866123902335175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11193266} λ = 0.11193266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.866123902335175))-π/2
    2×atan(2.37767686142744)-π/2
    2×1.17267659939413-π/2
    2.34535319878827-1.57079632675     		φ = 0.77455687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11193266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.413269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77455687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.378840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67871 KachelY 47468 0.11193266 0.77455687 6.413269 44.378840
    Oben rechts KachelX + 1 67872 KachelY 47468 0.11198060 0.77455687 6.416016 44.378840
    Unten links KachelX 67871 KachelY + 1 47469 0.11193266 0.77452261 6.413269 44.376877
    Unten rechts KachelX + 1 67872 KachelY + 1 47469 0.11198060 0.77452261 6.416016 44.376877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77455687-0.77452261) × R
    3.42599999999527e-05 × 6371000     		dl = 218.270459999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77455687-0.77452261) × R
    3.42599999999527e-05 × 6371000     		dr = 218.270459999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11193266-0.11198060) × cos(0.77455687) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714731029086897 × 6371000     		do = 218.29725345981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11193266-0.11198060) × cos(0.77452261) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714754990091745 × 6371000     		du = 218.304571767447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77455687)-sin(0.77452261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714731029086897-0.714754990091745)×R²
    abs(0.11198060-0.11193266)×2.39610048479166e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39610048479166e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39610048479166e-05×40589641000000     		ar = 47648.6406190892m²