Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67869 / 47461
↖ ↑ ↗
← N 44.392580°
E  6.407776°		 ← 218.20 m → N 44.392580°
E  6.410522°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
N 44.390617°
E  6.407776°		 ← 218.21 m →
47 628 m²		 N 44.390617°
E  6.410522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517803192138672 y=0.362102508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517803192138672 × 217)
    floor (0.517803192138672 × 131072)
    floor (67869.5)     		tx = 67869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362102508544922 × 217)
    floor (0.362102508544922 × 131072)
    floor (47461.5)     		ty = 47461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67869 / 47461 ti = "17/67869/47461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67869/47461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67869 ÷ 217
    67869 ÷ 131072     		x = 0.517799377441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47461 ÷ 217
    47461 ÷ 131072     		y = 0.362098693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517799377441406 × 2 - 1) × π
    0.0355987548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11183679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.362098693847656 × 2 - 1) × π
    0.275802612304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.866459460632515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11183679} λ = 0.11183679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.866459460632515))-π/2
    2×atan(2.37847484450412)-π/2
    2×1.17279650228583-π/2
    2.34559300457165-1.57079632675     		φ = 0.77479668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11183679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.407776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77479668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.392580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67869 KachelY 47461 0.11183679 0.77479668 6.407776 44.392580
    Oben rechts KachelX + 1 67870 KachelY 47461 0.11188472 0.77479668 6.410522 44.392580
    Unten links KachelX 67869 KachelY + 1 47462 0.11183679 0.77476242 6.407776 44.390617
    Unten rechts KachelX + 1 67870 KachelY + 1 47462 0.11188472 0.77476242 6.410522 44.390617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77479668-0.77476242) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dl = 218.270460000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77479668-0.77476242) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dr = 218.270460000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11183679-0.11188472) × cos(0.77479668) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.714563285560657 × 6371000     		do = 218.200495442216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11183679-0.11188472) × cos(0.77476242) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.714587252437066 × 6371000     		du = 218.207814016249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77479668)-sin(0.77476242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714563285560657-0.714587252437066)×R²
    abs(0.11188472-0.11183679)×2.39668764093759e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.39668764093759e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.39668764093759e-05×40589641000000     		ar = 47627.5212314303m²