Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67867 / 44982
↖ ↑ ↗
← N 49.055870°
E  6.402283°		 ← 200.15 m → N 49.055870°
E  6.405029°		 →
↑
200.11 m
↓
↑
200.11 m
↓
N 49.054070°
E  6.402283°		 ← 200.16 m →
40 054 m²		 N 49.054070°
E  6.405029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517787933349609 y=0.343189239501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517787933349609 × 217)
    floor (0.517787933349609 × 131072)
    floor (67867.5)     		tx = 67867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343189239501953 × 217)
    floor (0.343189239501953 × 131072)
    floor (44982.5)     		ty = 44982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67867 / 44982 ti = "17/67867/44982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67867/44982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67867 ÷ 217
    67867 ÷ 131072     		x = 0.517784118652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44982 ÷ 217
    44982 ÷ 131072     		y = 0.343185424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517784118652344 × 2 - 1) × π
    0.0355682373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11174091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343185424804688 × 2 - 1) × π
    0.313629150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.985295034790634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11174091} λ = 0.11174091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985295034790634))-π/2
    2×atan(2.67860204864696)-π/2
    2×1.21349138944109-π/2
    2.42698277888218-1.57079632675     		φ = 0.85618645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11174091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.402283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85618645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.055870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67867 KachelY 44982 0.11174091 0.85618645 6.402283 49.055870
    Oben rechts KachelX + 1 67868 KachelY 44982 0.11178885 0.85618645 6.405029 49.055870
    Unten links KachelX 67867 KachelY + 1 44983 0.11174091 0.85615504 6.402283 49.054070
    Unten rechts KachelX + 1 67868 KachelY + 1 44983 0.11178885 0.85615504 6.405029 49.054070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85618645-0.85615504) × R
    3.1410000000065e-05 × 6371000     		dl = 200.113110000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85618645-0.85615504) × R
    3.1410000000065e-05 × 6371000     		dr = 200.113110000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11174091-0.11178885) × cos(0.85618645) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.655322787417988 × 6371000     		do = 200.152447285986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11174091-0.11178885) × cos(0.85615504) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.655346512605404 × 6371000     		du = 200.159693568909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85618645)-sin(0.85615504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655322787417988-0.655346512605404)×R²
    abs(0.11178885-0.11174091)×2.37251874156685e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37251874156685e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37251874156685e-05×40589641000000     		ar = 40053.8537418305m²