Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67866 / 47353
↖ ↑ ↗
← N 44.604157°
E  6.399536°		 ← 217.41 m → N 44.604157°
E  6.402283°		 →
↑
217.44 m
↓
↑
217.44 m
↓
N 44.602202°
E  6.399536°		 ← 217.42 m →
47 275 m²		 N 44.602202°
E  6.402283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517780303955078 y=0.361278533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517780303955078 × 217)
    floor (0.517780303955078 × 131072)
    floor (67866.5)     		tx = 67866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361278533935547 × 217)
    floor (0.361278533935547 × 131072)
    floor (47353.5)     		ty = 47353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67866 / 47353 ti = "17/67866/47353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67866/47353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67866 ÷ 217
    67866 ÷ 131072     		x = 0.517776489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47353 ÷ 217
    47353 ÷ 131072     		y = 0.361274719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517776489257812 × 2 - 1) × π
    0.035552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11169298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361274719238281 × 2 - 1) × π
    0.277450561523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.871636645791481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11169298} λ = 0.11169298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.871636645791481))-π/2
    2×atan(2.39082057967304)-π/2
    2×1.17464286569596-π/2
    2.34928573139192-1.57079632675     		φ = 0.77848940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11169298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.399536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77848940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.604157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67866 KachelY 47353 0.11169298 0.77848940 6.399536 44.604157
    Oben rechts KachelX + 1 67867 KachelY 47353 0.11174091 0.77848940 6.402283 44.604157
    Unten links KachelX 67866 KachelY + 1 47354 0.11169298 0.77845527 6.399536 44.602202
    Unten rechts KachelX + 1 67867 KachelY + 1 47354 0.11174091 0.77845527 6.402283 44.602202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77848940-0.77845527) × R
    3.41299999999656e-05 × 6371000     		dl = 217.442229999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77848940-0.77845527) × R
    3.41299999999656e-05 × 6371000     		dr = 217.442229999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11169298-0.11174091) × cos(0.77848940) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.711975100377841 × 6371000     		do = 217.410161960838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11169298-0.11174091) × cos(0.77845527) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.711999066209955 × 6371000     		du = 217.417480215983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77848940)-sin(0.77845527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711975100377841-0.711999066209955)×R²
    abs(0.11174091-0.11169298)×2.3965832114281e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3965832114281e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3965832114281e-05×40589641000000     		ar = 47274.9460947336m²