Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67861 / 47314
↖ ↑ ↗
← N 44.680372°
E  6.385803°		 ← 217.17 m → N 44.680372°
E  6.388550°		 →
↑
217.19 m
↓
↑
217.19 m
↓
N 44.678419°
E  6.385803°		 ← 217.18 m →
47 167 m²		 N 44.678419°
E  6.388550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517742156982422 y=0.360980987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517742156982422 × 217)
    floor (0.517742156982422 × 131072)
    floor (67861.5)     		tx = 67861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360980987548828 × 217)
    floor (0.360980987548828 × 131072)
    floor (47314.5)     		ty = 47314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67861 / 47314 ti = "17/67861/47314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67861/47314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67861 ÷ 217
    67861 ÷ 131072     		x = 0.517738342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47314 ÷ 217
    47314 ÷ 131072     		y = 0.360977172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517738342285156 × 2 - 1) × π
    0.0354766845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11145329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360977172851562 × 2 - 1) × π
    0.278045654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.873506184876663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11145329} λ = 0.11145329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.873506184876663))-π/2
    2×atan(2.39529449296719)-π/2
    2×1.17530796147142-π/2
    2.35061592294284-1.57079632675     		φ = 0.77981960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11145329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.385803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77981960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.680372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67861 KachelY 47314 0.11145329 0.77981960 6.385803 44.680372
    Oben rechts KachelX + 1 67862 KachelY 47314 0.11150123 0.77981960 6.388550 44.680372
    Unten links KachelX 67861 KachelY + 1 47315 0.11145329 0.77978551 6.385803 44.678419
    Unten rechts KachelX + 1 67862 KachelY + 1 47315 0.11150123 0.77978551 6.388550 44.678419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77981960-0.77978551) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dl = 217.187389999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77981960-0.77978551) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dr = 217.187389999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11145329-0.11150123) × cos(0.77981960) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.711040398050771 × 6371000     		do = 217.170039744597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11145329-0.11150123) × cos(0.77978551) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.711064368060615 × 6371000     		du = 217.177360802592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77981960)-sin(0.77978551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711040398050771-0.711064368060615)×R²
    abs(0.11150123-0.11145329)×2.39700098441098e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39700098441098e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39700098441098e-05×40589641000000     		ar = 47167.3891436611m²