Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67861 / 45023
↖ ↑ ↗
← N 48.982020°
E  6.385803°		 ← 200.45 m → N 48.982020°
E  6.388550°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
N 48.980217°
E  6.385803°		 ← 200.46 m →
40 190 m²		 N 48.980217°
E  6.388550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517742156982422 y=0.343502044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517742156982422 × 217)
    floor (0.517742156982422 × 131072)
    floor (67861.5)     		tx = 67861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343502044677734 × 217)
    floor (0.343502044677734 × 131072)
    floor (45023.5)     		ty = 45023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67861 / 45023 ti = "17/67861/45023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67861/45023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67861 ÷ 217
    67861 ÷ 131072     		x = 0.517738342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45023 ÷ 217
    45023 ÷ 131072     		y = 0.343498229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517738342285156 × 2 - 1) × π
    0.0354766845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11145329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343498229980469 × 2 - 1) × π
    0.313003540039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.983329621906212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11145329} λ = 0.11145329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983329621906212))-π/2
    2×atan(2.67334265979664)-π/2
    2×1.21284692143457-π/2
    2.42569384286914-1.57079632675     		φ = 0.85489752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11145329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.385803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85489752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.982020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67861 KachelY 45023 0.11145329 0.85489752 6.385803 48.982020
    Oben rechts KachelX + 1 67862 KachelY 45023 0.11150123 0.85489752 6.388550 48.982020
    Unten links KachelX 67861 KachelY + 1 45024 0.11145329 0.85486605 6.385803 48.980217
    Unten rechts KachelX + 1 67862 KachelY + 1 45024 0.11150123 0.85486605 6.388550 48.980217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85489752-0.85486605) × R
    3.14699999999224e-05 × 6371000     		dl = 200.495369999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85489752-0.85486605) × R
    3.14699999999224e-05 × 6371000     		dr = 200.495369999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11145329-0.11150123) × cos(0.85489752) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.656295834720297 × 6371000     		do = 200.449640978407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11145329-0.11150123) × cos(0.85486605) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.65631957862558 × 6371000     		du = 200.456892978249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85489752)-sin(0.85486605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656295834720297-0.65631957862558)×R²
    abs(0.11150123-0.11145329)×2.37439052825916e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.37439052825916e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.37439052825916e-05×40589641000000     		ar = 40189.9519338117m²