Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6786 / 1615
↖ ↑ ↗
← N 80.820397°
W 30.893555°		 ← 389.78 m → N 80.820397°
W 30.871582°		 →
↑
389.84 m
↓
↑
389.84 m
↓
N 80.816891°
W 30.893555°		 ← 389.92 m →
151 979 m²		 N 80.816891°
W 30.871582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414215087890625 y=0.098602294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414215087890625 × 214)
    floor (0.414215087890625 × 16384)
    floor (6786.5)     		tx = 6786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.098602294921875 × 214)
    floor (0.098602294921875 × 16384)
    floor (1615.5)     		ty = 1615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6786 / 1615 ti = "14/6786/1615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6786/1615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6786 ÷ 214
    6786 ÷ 16384     		x = 0.4141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1615 ÷ 214
    1615 ÷ 16384     		y = 0.09857177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53919425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09857177734375 × 2 - 1) × π
    0.8028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52224791040887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53919425} λ = -0.53919425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52224791040887))-π/2
    2×atan(12.4565664604062)-π/2
    2×1.49068917722846-π/2
    2.98137835445693-1.57079632675     		φ = 1.41058203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53919425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.893555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41058203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.820397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6786 KachelY 1615 -0.53919425 1.41058203 -30.893555 80.820397
    Oben rechts KachelX + 1 6787 KachelY 1615 -0.53881075 1.41058203 -30.871582 80.820397
    Unten links KachelX 6786 KachelY + 1 1616 -0.53919425 1.41052084 -30.893555 80.816891
    Unten rechts KachelX + 1 6787 KachelY + 1 1616 -0.53881075 1.41052084 -30.871582 80.816891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41058203-1.41052084) × R
    6.11900000000443e-05 × 6371000     		dl = 389.841490000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41058203-1.41052084) × R
    6.11900000000443e-05 × 6371000     		dr = 389.841490000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53919425--0.53881075) × cos(1.41058203) × R
    0.000383499999999981 × 0.159529762597094 × 6371000     		do = 389.775639063565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53919425--0.53881075) × cos(1.41052084) × R
    0.000383499999999981 × 0.159590168645371 × 6371000     		du = 389.923227862591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41058203)-sin(1.41052084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159529762597094-0.159590168645371)×R²
    abs(-0.53881075--0.53919425)×6.04060482770064e-05×R²
    0.000383499999999981×6.04060482770064e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.04060482770064e-05×40589641000000     		ar = 151979.484065489m²