Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67859 / 68853
↖ ↑ ↗
← S  9.072264°
E  6.380310°		 ← 301.54 m → S  9.072264°
E  6.383056°		 →
↑
301.60 m
↓
↑
301.60 m
↓
S  9.074976°
E  6.380310°		 ← 301.54 m →
90 946 m²		 S  9.074976°
E  6.383056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517726898193359 y=0.525310516357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517726898193359 × 217)
    floor (0.517726898193359 × 131072)
    floor (67859.5)     		tx = 67859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525310516357422 × 217)
    floor (0.525310516357422 × 131072)
    floor (68853.5)     		ty = 68853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67859 / 68853 ti = "17/67859/68853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67859/68853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67859 ÷ 217
    67859 ÷ 131072     		x = 0.517723083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68853 ÷ 217
    68853 ÷ 131072     		y = 0.525306701660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517723083496094 × 2 - 1) × π
    0.0354461669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11135742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525306701660156 × 2 - 1) × π
    -0.0506134033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.159006696039726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11135742} λ = 0.11135742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159006696039726))-π/2
    2×atan(0.852990647290748)-π/2
    2×0.706227728818211-π/2
    1.41245545763642-1.57079632675     		φ = -0.15834087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11135742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.380310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15834087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.072264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67859 KachelY 68853 0.11135742 -0.15834087 6.380310 -9.072264
    Oben rechts KachelX + 1 67860 KachelY 68853 0.11140535 -0.15834087 6.383056 -9.072264
    Unten links KachelX 67859 KachelY + 1 68854 0.11135742 -0.15838821 6.380310 -9.074976
    Unten rechts KachelX + 1 67860 KachelY + 1 68854 0.11140535 -0.15838821 6.383056 -9.074976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15834087--0.15838821) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dl = 301.603140000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15834087--0.15838821) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dr = 301.603140000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11135742-0.11140535) × cos(-0.15834087) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987490254094437 × 6371000     		do = 301.542028595503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11135742-0.11140535) × cos(-0.15838821) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987482788414368 × 6371000     		du = 301.539748860282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15834087)-sin(-0.15838821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987490254094437-0.987482788414368)×R²
    abs(0.11140535-0.11135742)×7.465680069485e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.465680069485e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.465680069485e-06×40589641000000     		ar = 90945.6788957606m²