Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67859 / 47312
↖ ↑ ↗
← N 44.684277°
E  6.380310°		 ← 217.11 m → N 44.684277°
E  6.383056°		 →
↑
217.12 m
↓
↑
217.12 m
↓
N 44.682325°
E  6.380310°		 ← 217.12 m →
47 141 m²		 N 44.682325°
E  6.383056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517726898193359 y=0.360965728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517726898193359 × 217)
    floor (0.517726898193359 × 131072)
    floor (67859.5)     		tx = 67859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360965728759766 × 217)
    floor (0.360965728759766 × 131072)
    floor (47312.5)     		ty = 47312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67859 / 47312 ti = "17/67859/47312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67859/47312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67859 ÷ 217
    67859 ÷ 131072     		x = 0.517723083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47312 ÷ 217
    47312 ÷ 131072     		y = 0.3609619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517723083496094 × 2 - 1) × π
    0.0354461669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11135742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3609619140625 × 2 - 1) × π
    0.278076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.873602058675903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11135742} λ = 0.11135742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.873602058675903))-π/2
    2×atan(2.3955241499594)-π/2
    2×1.17534204539483-π/2
    2.35068409078967-1.57079632675     		φ = 0.77988776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11135742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.380310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77988776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.684277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67859 KachelY 47312 0.11135742 0.77988776 6.380310 44.684277
    Oben rechts KachelX + 1 67860 KachelY 47312 0.11140535 0.77988776 6.383056 44.684277
    Unten links KachelX 67859 KachelY + 1 47313 0.11135742 0.77985368 6.380310 44.682325
    Unten rechts KachelX + 1 67860 KachelY + 1 47313 0.11140535 0.77985368 6.383056 44.682325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77988776-0.77985368) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dl = 217.123680000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77988776-0.77985368) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dr = 217.123680000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11135742-0.11140535) × cos(0.77988776) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.710992469616143 × 6371000     		do = 217.110103836706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11135742-0.11140535) × cos(0.77985368) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.711016434246361 × 6371000     		du = 217.117421724837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77988776)-sin(0.77985368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710992469616143-0.711016434246361)×R²
    abs(0.11140535-0.11135742)×2.39646302176988e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39646302176988e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39646302176988e-05×40589641000000     		ar = 47140.5391582831m²