Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67859 / 45010
↖ ↑ ↗
← N 49.005447°
E  6.380310°		 ← 200.31 m → N 49.005447°
E  6.383056°		 →
↑
200.37 m
↓
↑
200.37 m
↓
N 49.003646°
E  6.380310°		 ← 200.32 m →
40 137 m²		 N 49.003646°
E  6.383056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517726898193359 y=0.343402862548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517726898193359 × 217)
    floor (0.517726898193359 × 131072)
    floor (67859.5)     		tx = 67859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343402862548828 × 217)
    floor (0.343402862548828 × 131072)
    floor (45010.5)     		ty = 45010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67859 / 45010 ti = "17/67859/45010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67859/45010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67859 ÷ 217
    67859 ÷ 131072     		x = 0.517723083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45010 ÷ 217
    45010 ÷ 131072     		y = 0.343399047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517723083496094 × 2 - 1) × π
    0.0354461669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11135742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343399047851562 × 2 - 1) × π
    0.313201904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.983952801601273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11135742} λ = 0.11135742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983952801601273))-π/2
    2×atan(2.67500915186824)-π/2
    2×1.21305136848048-π/2
    2.42610273696097-1.57079632675     		φ = 0.85530641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11135742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.380310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85530641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.005447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67859 KachelY 45010 0.11135742 0.85530641 6.380310 49.005447
    Oben rechts KachelX + 1 67860 KachelY 45010 0.11140535 0.85530641 6.383056 49.005447
    Unten links KachelX 67859 KachelY + 1 45011 0.11135742 0.85527496 6.380310 49.003646
    Unten rechts KachelX + 1 67860 KachelY + 1 45011 0.11140535 0.85527496 6.383056 49.003646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85530641-0.85527496) × R
    3.14499999999329e-05 × 6371000     		dl = 200.367949999573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85530641-0.85527496) × R
    3.14499999999329e-05 × 6371000     		dr = 200.367949999573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11135742-0.11140535) × cos(0.85530641) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.655987270862783 × 6371000     		do = 200.313604684826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11135742-0.11140535) × cos(0.85527496) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.656011008116269 × 6371000     		du = 200.320853140737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85530641)-sin(0.85527496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655987270862783-0.656011008116269)×R²
    abs(0.11140535-0.11135742)×2.37372534866997e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37372534866997e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37372534866997e-05×40589641000000     		ar = 40137.1525101554m²