Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67858 / 47310
↖ ↑ ↗
← N 44.688183°
E  6.377563°		 ← 217.14 m → N 44.688183°
E  6.380310°		 →
↑
217.12 m
↓
↑
217.12 m
↓
N 44.686230°
E  6.377563°		 ← 217.15 m →
47 147 m²		 N 44.686230°
E  6.380310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517719268798828 y=0.360950469970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517719268798828 × 217)
    floor (0.517719268798828 × 131072)
    floor (67858.5)     		tx = 67858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360950469970703 × 217)
    floor (0.360950469970703 × 131072)
    floor (47310.5)     		ty = 47310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67858 / 47310 ti = "17/67858/47310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67858/47310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67858 ÷ 217
    67858 ÷ 131072     		x = 0.517715454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47310 ÷ 217
    47310 ÷ 131072     		y = 0.360946655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517715454101562 × 2 - 1) × π
    0.035430908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11130948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360946655273438 × 2 - 1) × π
    0.278106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.873697932475143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11130948} λ = 0.11130948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.873697932475143))-π/2
    2×atan(2.39575382897075)-π/2
    2×1.17537612702044-π/2
    2.35075225404088-1.57079632675     		φ = 0.77995593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11130948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.377563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77995593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.688183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67858 KachelY 47310 0.11130948 0.77995593 6.377563 44.688183
    Oben rechts KachelX + 1 67859 KachelY 47310 0.11135742 0.77995593 6.380310 44.688183
    Unten links KachelX 67858 KachelY + 1 47311 0.11130948 0.77992185 6.377563 44.686230
    Unten rechts KachelX + 1 67859 KachelY + 1 47311 0.11135742 0.77992185 6.380310 44.686230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77995593-0.77992185) × R
    3.40799999999364e-05 × 6371000     		dl = 217.123679999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77995593-0.77992185) × R
    3.40799999999364e-05 × 6371000     		dr = 217.123679999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11130948-0.11135742) × cos(0.77995593) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.710944530845916 × 6371000     		do = 217.14075943255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11130948-0.11135742) × cos(0.77992185) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.710968497127907 × 6371000     		du = 217.148079351962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77995593)-sin(0.77992185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710944530845916-0.710968497127907)×R²
    abs(0.11135742-0.11130948)×2.39662819914166e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39662819914166e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39662819914166e-05×40589641000000     		ar = 47147.1954343464m²