Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67857 / 68338
↖ ↑ ↗
← S  7.672886°
E  6.374817°		 ← 302.69 m → S  7.672886°
E  6.377563°		 →
↑
302.62 m
↓
↑
302.62 m
↓
S  7.675607°
E  6.374817°		 ← 302.69 m →
91 601 m²		 S  7.675607°
E  6.377563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517711639404297 y=0.521381378173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517711639404297 × 217)
    floor (0.517711639404297 × 131072)
    floor (67857.5)     		tx = 67857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521381378173828 × 217)
    floor (0.521381378173828 × 131072)
    floor (68338.5)     		ty = 68338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67857 / 68338 ti = "17/67857/68338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67857/68338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67857 ÷ 217
    67857 ÷ 131072     		x = 0.517707824707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68338 ÷ 217
    68338 ÷ 131072     		y = 0.521377563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517707824707031 × 2 - 1) × π
    0.0354156494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11126154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521377563476562 × 2 - 1) × π
    -0.042755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.134319192735397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11126154} λ = 0.11126154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.134319192735397))-π/2
    2×atan(0.87431094635689)-π/2
    2×0.71843960586017-π/2
    1.43687921172034-1.57079632675     		φ = -0.13391712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11126154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.374817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13391712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.672886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67857 KachelY 68338 0.11126154 -0.13391712 6.374817 -7.672886
    Oben rechts KachelX + 1 67858 KachelY 68338 0.11130948 -0.13391712 6.377563 -7.672886
    Unten links KachelX 67857 KachelY + 1 68339 0.11126154 -0.13396462 6.374817 -7.675607
    Unten rechts KachelX + 1 67858 KachelY + 1 68339 0.11130948 -0.13396462 6.377563 -7.675607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13391712--0.13396462) × R
    4.75000000000059e-05 × 6371000     		dl = 302.622500000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13391712--0.13396462) × R
    4.75000000000059e-05 × 6371000     		dr = 302.622500000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11126154-0.11130948) × cos(-0.13391712) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.991046495352239 × 6371000     		do = 302.691109217341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11126154-0.11130948) × cos(-0.13396462) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.991040152166976 × 6371000     		du = 302.689171845288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13391712)-sin(-0.13396462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991046495352239-0.991040152166976)×R²
    abs(0.11130948-0.11126154)×6.34318526282485e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.34318526282485e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.34318526282485e-06×40589641000000     		ar = 91600.847070173m²