Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67855 / 68326
↖ ↑ ↗
← S  7.640220°
E  6.369324°		 ← 302.71 m → S  7.640220°
E  6.372070°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
S  7.642942°
E  6.369324°		 ← 302.71 m →
91 627 m²		 S  7.642942°
E  6.372070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517696380615234 y=0.521289825439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517696380615234 × 217)
    floor (0.517696380615234 × 131072)
    floor (67855.5)     		tx = 67855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521289825439453 × 217)
    floor (0.521289825439453 × 131072)
    floor (68326.5)     		ty = 68326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67855 / 68326 ti = "17/67855/68326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67855/68326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67855 ÷ 217
    67855 ÷ 131072     		x = 0.517692565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68326 ÷ 217
    68326 ÷ 131072     		y = 0.521286010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517692565917969 × 2 - 1) × π
    0.0353851318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11116567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521286010742188 × 2 - 1) × π
    -0.042572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.133743949939957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11116567} λ = 0.11116567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.133743949939957))-π/2
    2×atan(0.874814032114113)-π/2
    2×0.718724662969855-π/2
    1.43744932593971-1.57079632675     		φ = -0.13334700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11116567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.369324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13334700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.640220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67855 KachelY 68326 0.11116567 -0.13334700 6.369324 -7.640220
    Oben rechts KachelX + 1 67856 KachelY 68326 0.11121361 -0.13334700 6.372070 -7.640220
    Unten links KachelX 67855 KachelY + 1 68327 0.11116567 -0.13339451 6.369324 -7.642942
    Unten rechts KachelX + 1 67856 KachelY + 1 68327 0.11121361 -0.13339451 6.372070 -7.642942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13334700--0.13339451) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13334700--0.13339451) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11116567-0.11121361) × cos(-0.13334700) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.991122455113777 × 6371000     		do = 302.714309283806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11116567-0.11121361) × cos(-0.13339451) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.991116137437698 × 6371000     		du = 302.712379702915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13334700)-sin(-0.13339451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991122455113777-0.991116137437698)×R²
    abs(0.11121361-0.11116567)×6.31767607894851e-06×R²
    4.79400000000102e-05×6.31767607894851e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×6.31767607894851e-06×40589641000000     		ar = 91627.1549783714m²