Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67854 / 68336
↖ ↑ ↗
← S  7.667442°
E  6.366577°		 ← 302.69 m → S  7.667442°
E  6.369324°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
S  7.670164°
E  6.366577°		 ← 302.69 m →
91 621 m²		 S  7.670164°
E  6.369324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517688751220703 y=0.521366119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517688751220703 × 217)
    floor (0.517688751220703 × 131072)
    floor (67854.5)     		tx = 67854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521366119384766 × 217)
    floor (0.521366119384766 × 131072)
    floor (68336.5)     		ty = 68336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67854 / 68336 ti = "17/67854/68336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67854/68336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67854 ÷ 217
    67854 ÷ 131072     		x = 0.517684936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68336 ÷ 217
    68336 ÷ 131072     		y = 0.5213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517684936523438 × 2 - 1) × π
    0.035369873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11111773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.134223318936157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11111773} λ = 0.11111773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.134223318936157))-π/2
    2×atan(0.874394773887402)-π/2
    2×0.718487113860567-π/2
    1.43697422772113-1.57079632675     		φ = -0.13382210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11111773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.366577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13382210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.667442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67854 KachelY 68336 0.11111773 -0.13382210 6.366577 -7.667442
    Oben rechts KachelX + 1 67855 KachelY 68336 0.11116567 -0.13382210 6.369324 -7.667442
    Unten links KachelX 67854 KachelY + 1 68337 0.11111773 -0.13386961 6.366577 -7.670164
    Unten rechts KachelX + 1 67855 KachelY + 1 68337 0.11116567 -0.13386961 6.369324 -7.670164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13382210--0.13386961) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13382210--0.13386961) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11111773-0.11116567) × cos(-0.13382210) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.991059177683065 × 6371000     		do = 302.694982727618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11111773-0.11116567) × cos(-0.13386961) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.991052837636154 × 6371000     		du = 302.693046314099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13382210)-sin(-0.13386961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991059177683065-0.991052837636154)×R²
    abs(0.11116567-0.11111773)×6.34004691091317e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.34004691091317e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.34004691091317e-06×40589641000000     		ar = 91621.3040622321m²