Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67853 / 68811
↖ ↑ ↗
← S  8.958332°
E  6.363831°		 ← 301.64 m → S  8.958332°
E  6.366577°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  8.961045°
E  6.363831°		 ← 301.63 m →
90 994 m²		 S  8.961045°
E  6.366577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517681121826172 y=0.524990081787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517681121826172 × 217)
    floor (0.517681121826172 × 131072)
    floor (67853.5)     		tx = 67853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524990081787109 × 217)
    floor (0.524990081787109 × 131072)
    floor (68811.5)     		ty = 68811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67853 / 68811 ti = "17/67853/68811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67853/68811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67853 ÷ 217
    67853 ÷ 131072     		x = 0.517677307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68811 ÷ 217
    68811 ÷ 131072     		y = 0.524986267089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517677307128906 × 2 - 1) × π
    0.0353546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11106980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524986267089844 × 2 - 1) × π
    -0.0499725341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.156993346255684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11106980} λ = 0.11106980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156993346255684))-π/2
    2×atan(0.854709745818878)-π/2
    2×0.707221967617907-π/2
    1.41444393523581-1.57079632675     		φ = -0.15635239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11106980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.363831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15635239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.958332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67853 KachelY 68811 0.11106980 -0.15635239 6.363831 -8.958332
    Oben rechts KachelX + 1 67854 KachelY 68811 0.11111773 -0.15635239 6.366577 -8.958332
    Unten links KachelX 67853 KachelY + 1 68812 0.11106980 -0.15639974 6.363831 -8.961045
    Unten rechts KachelX + 1 67854 KachelY + 1 68812 0.11111773 -0.15639974 6.366577 -8.961045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15635239--0.15639974) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15635239--0.15639974) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11106980-0.11111773) × cos(-0.15635239) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987801845219391 × 6371000     		do = 301.637176693949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11106980-0.11111773) × cos(-0.15639974) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987794470953083 × 6371000     		du = 301.634924873019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15635239)-sin(-0.15639974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987801845219391-0.987794470953083)×R²
    abs(0.11111773-0.11106980)×7.3742663084797e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.3742663084797e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.3742663084797e-06×40589641000000     		ar = 90993.5973032879m²