Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67852 / 68348
↖ ↑ ↗
← S  7.700105°
E  6.361084°		 ← 302.67 m → S  7.700105°
E  6.363831°		 →
↑
302.62 m
↓
↑
302.62 m
↓
S  7.702826°
E  6.361084°		 ← 302.67 m →
91 595 m²		 S  7.702826°
E  6.363831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517673492431641 y=0.521457672119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517673492431641 × 217)
    floor (0.517673492431641 × 131072)
    floor (67852.5)     		tx = 67852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521457672119141 × 217)
    floor (0.521457672119141 × 131072)
    floor (68348.5)     		ty = 68348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67852 / 68348 ti = "17/67852/68348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67852/68348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67852 ÷ 217
    67852 ÷ 131072     		x = 0.517669677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68348 ÷ 217
    68348 ÷ 131072     		y = 0.521453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517669677734375 × 2 - 1) × π
    0.03533935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11102186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.04290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.134798561731598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11102186} λ = 0.11102186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.134798561731598))-π/2
    2×atan(0.8738919292361)-π/2
    2×0.71820207498866-π/2
    1.43640414997732-1.57079632675     		φ = -0.13439218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11102186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.361084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13439218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.700105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67852 KachelY 68348 0.11102186 -0.13439218 6.361084 -7.700105
    Oben rechts KachelX + 1 67853 KachelY 68348 0.11106980 -0.13439218 6.363831 -7.700105
    Unten links KachelX 67852 KachelY + 1 68349 0.11102186 -0.13443968 6.361084 -7.702826
    Unten rechts KachelX + 1 67853 KachelY + 1 68349 0.11106980 -0.13443968 6.363831 -7.702826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13439218--0.13443968) × R
    4.75000000000059e-05 × 6371000     		dl = 302.622500000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13439218--0.13443968) × R
    4.75000000000059e-05 × 6371000     		dr = 302.622500000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11102186-0.11106980) × cos(-0.13439218) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990982954840506 × 6371000     		do = 302.671702309525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11102186-0.11106980) × cos(-0.13443968) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990976589292721 × 6371000     		du = 302.669758107382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13439218)-sin(-0.13443968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990982954840506-0.990976589292721)×R²
    abs(0.11106980-0.11102186)×6.36554778565834e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.36554778565834e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.36554778565834e-06×40589641000000     		ar = 91594.9730697828m²