Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67852 / 44972
↖ ↑ ↗
← N 49.073866°
E  6.361084°		 ← 200.08 m → N 49.073866°
E  6.363831°		 →
↑
200.11 m
↓
↑
200.11 m
↓
N 49.072066°
E  6.361084°		 ← 200.09 m →
40 039 m²		 N 49.072066°
E  6.363831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517673492431641 y=0.343112945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517673492431641 × 217)
    floor (0.517673492431641 × 131072)
    floor (67852.5)     		tx = 67852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343112945556641 × 217)
    floor (0.343112945556641 × 131072)
    floor (44972.5)     		ty = 44972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67852 / 44972 ti = "17/67852/44972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67852/44972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67852 ÷ 217
    67852 ÷ 131072     		x = 0.517669677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44972 ÷ 217
    44972 ÷ 131072     		y = 0.343109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517669677734375 × 2 - 1) × π
    0.03533935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11102186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343109130859375 × 2 - 1) × π
    0.31378173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.985774403786835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11102186} λ = 0.11102186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985774403786835))-π/2
    2×atan(2.67988639523562)-π/2
    2×1.21364843171802-π/2
    2.42729686343604-1.57079632675     		φ = 0.85650054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11102186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.361084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85650054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.073866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67852 KachelY 44972 0.11102186 0.85650054 6.361084 49.073866
    Oben rechts KachelX + 1 67853 KachelY 44972 0.11106980 0.85650054 6.363831 49.073866
    Unten links KachelX 67852 KachelY + 1 44973 0.11102186 0.85646913 6.361084 49.072066
    Unten rechts KachelX + 1 67853 KachelY + 1 44973 0.11106980 0.85646913 6.363831 49.072066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85650054-0.85646913) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dl = 200.113109999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85650054-0.85646913) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dr = 200.113109999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11102186-0.11106980) × cos(0.85650054) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.65508550754389 × 6371000     		do = 200.079975904853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11102186-0.11106980) × cos(0.85646913) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.655109239195383 × 6371000     		du = 200.087224162072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85650054)-sin(0.85646913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65508550754389-0.655109239195383)×R²
    abs(0.11106980-0.11102186)×2.3731651493053e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3731651493053e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3731651493053e-05×40589641000000     		ar = 40039.3514659021m²