Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67851 / 47156
↖ ↑ ↗
← N 44.988113°
E  6.358337°		 ← 216.01 m → N 44.988113°
E  6.361084°		 →
↑
216.04 m
↓
↑
216.04 m
↓
N 44.986170°
E  6.358337°		 ← 216.02 m →
46 668 m²		 N 44.986170°
E  6.361084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517665863037109 y=0.359775543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517665863037109 × 217)
    floor (0.517665863037109 × 131072)
    floor (67851.5)     		tx = 67851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359775543212891 × 217)
    floor (0.359775543212891 × 131072)
    floor (47156.5)     		ty = 47156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67851 / 47156 ti = "17/67851/47156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67851/47156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67851 ÷ 217
    67851 ÷ 131072     		x = 0.517662048339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47156 ÷ 217
    47156 ÷ 131072     		y = 0.359771728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517662048339844 × 2 - 1) × π
    0.0353240966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11097392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359771728515625 × 2 - 1) × π
    0.28045654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.881080215016632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11097392} λ = 0.11097392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.881080215016632))-π/2
    2×atan(2.41350540358691)-π/2
    2×1.17799351167145-π/2
    2.35598702334289-1.57079632675     		φ = 0.78519070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11097392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.358337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78519070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.988113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67851 KachelY 47156 0.11097392 0.78519070 6.358337 44.988113
    Oben rechts KachelX + 1 67852 KachelY 47156 0.11102186 0.78519070 6.361084 44.988113
    Unten links KachelX 67851 KachelY + 1 47157 0.11097392 0.78515679 6.358337 44.986170
    Unten rechts KachelX + 1 67852 KachelY + 1 47157 0.11102186 0.78515679 6.361084 44.986170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78519070-0.78515679) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dl = 216.040609999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78519070-0.78515679) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dr = 216.040609999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11097392-0.11102186) × cos(0.78519070) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.707253464743366 × 6371000     		do = 216.01341283679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11097392-0.11102186) × cos(0.78515679) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.707277437352609 × 6371000     		du = 216.020734688708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78519070)-sin(0.78515679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707253464743366-0.707277437352609)×R²
    abs(0.11102186-0.11097392)×2.39726092428061e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39726092428061e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39726092428061e-05×40589641000000     		ar = 46668.4603904581m²