Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67850 / 68874
↖ ↑ ↗
← S  9.129216°
E  6.355591°		 ← 301.49 m → S  9.129216°
E  6.358337°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
S  9.131927°
E  6.355591°		 ← 301.49 m →
90 912 m²		 S  9.131927°
E  6.358337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517658233642578 y=0.525470733642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517658233642578 × 217)
    floor (0.517658233642578 × 131072)
    floor (67850.5)     		tx = 67850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525470733642578 × 217)
    floor (0.525470733642578 × 131072)
    floor (68874.5)     		ty = 68874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67850 / 68874 ti = "17/67850/68874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67850/68874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67850 ÷ 217
    67850 ÷ 131072     		x = 0.517654418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68874 ÷ 217
    68874 ÷ 131072     		y = 0.525466918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517654418945312 × 2 - 1) × π
    0.035308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11092599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525466918945312 × 2 - 1) × π
    -0.050933837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.160013370931747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11092599} λ = 0.11092599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160013370931747))-π/2
    2×atan(0.852132395085944)-π/2
    2×0.705730727523724-π/2
    1.41146145504745-1.57079632675     		φ = -0.15933487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11092599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.355591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15933487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.129216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67850 KachelY 68874 0.11092599 -0.15933487 6.355591 -9.129216
    Oben rechts KachelX + 1 67851 KachelY 68874 0.11097392 -0.15933487 6.358337 -9.129216
    Unten links KachelX 67850 KachelY + 1 68875 0.11092599 -0.15938220 6.355591 -9.131927
    Unten rechts KachelX + 1 67851 KachelY + 1 68875 0.11097392 -0.15938220 6.358337 -9.131927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15933487--0.15938220) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dl = 301.539430000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15933487--0.15938220) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dr = 301.539430000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11092599-0.11097392) × cos(-0.15933487) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98733303231294 × 6371000     		do = 301.494019033145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11092599-0.11097392) × cos(-0.15938220) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987325521756523 × 6371000     		du = 301.491725594391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15933487)-sin(-0.15938220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98733303231294-0.987325521756523)×R²
    abs(0.11097392-0.11092599)×7.51055641712295e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.51055641712295e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.51055641712295e-06×40589641000000     		ar = 90911.9888835607m²