Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6785 / 2650
↖ ↑ ↗
← N 53.488046°
E118.168945°		 ← 2 907.42 m → N 53.488046°
E118.212891°		 →
↑
2 908.36 m
↓
↑
2 908.36 m
↓
N 53.461890°
E118.168945°		 ← 2 909.21 m →
8 458 427 m²		 N 53.461890°
E118.212891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82830810546875 y=0.32354736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82830810546875 × 213)
    floor (0.82830810546875 × 8192)
    floor (6785.5)     		tx = 6785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32354736328125 × 213)
    floor (0.32354736328125 × 8192)
    floor (2650.5)     		ty = 2650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6785 / 2650 ti = "13/6785/2650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6785/2650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6785 ÷ 213
    6785 ÷ 8192     		x = 0.8282470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2650 ÷ 213
    2650 ÷ 8192     		y = 0.323486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8282470703125 × 2 - 1) × π
    0.656494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06243717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323486328125 × 2 - 1) × π
    0.35302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10906810960962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06243717} λ = 2.06243717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10906810960962))-π/2
    2×atan(3.03153202214606)-π/2
    2×1.25216941591844-π/2
    2.50433883183687-1.57079632675     		φ = 0.93354251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06243717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.168945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93354251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.488046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6785 KachelY 2650 2.06243717 0.93354251 118.168945 53.488046
    Oben rechts KachelX + 1 6786 KachelY 2650 2.06320416 0.93354251 118.212891 53.488046
    Unten links KachelX 6785 KachelY + 1 2651 2.06243717 0.93308601 118.168945 53.461890
    Unten rechts KachelX + 1 6786 KachelY + 1 2651 2.06320416 0.93308601 118.212891 53.461890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93354251-0.93308601) × R
    0.000456499999999971 × 6371000     		dl = 2908.36149999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93354251-0.93308601) × R
    0.000456499999999971 × 6371000     		dr = 2908.36149999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06243717-2.06320416) × cos(0.93354251) × R
    0.000766990000000245 × 0.594990490351902 × 6371000     		do = 2907.41703871931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06243717-2.06320416) × cos(0.93308601) × R
    0.000766990000000245 × 0.595357332338995 × 6371000     		du = 2909.20960962773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93354251)-sin(0.93308601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594990490351902-0.595357332338995)×R²
    abs(2.06320416-2.06243717)×0.000366841987092359×R²
    0.000766990000000245×0.000366841987092359×6371000²
    0.000766990000000245×0.000366841987092359×40589641000000     		ar = 8458426.64885027m²