Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6785 / 2637
↖ ↑ ↗
← N 53.826597°
E118.168945°		 ← 2 884.16 m → N 53.826597°
E118.212891°		 →
↑
2 885.04 m
↓
↑
2 885.04 m
↓
N 53.800651°
E118.168945°		 ← 2 885.95 m →
8 323 504 m²		 N 53.800651°
E118.212891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82830810546875 y=0.32196044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82830810546875 × 213)
    floor (0.82830810546875 × 8192)
    floor (6785.5)     		tx = 6785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32196044921875 × 213)
    floor (0.32196044921875 × 8192)
    floor (2637.5)     		ty = 2637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6785 / 2637 ti = "13/6785/2637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6785/2637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6785 ÷ 213
    6785 ÷ 8192     		x = 0.8282470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2637 ÷ 213
    2637 ÷ 8192     		y = 0.3218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8282470703125 × 2 - 1) × π
    0.656494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06243717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3218994140625 × 2 - 1) × π
    0.356201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11903898473059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06243717} λ = 2.06243717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11903898473059))-π/2
    2×atan(3.06191024642545)-π/2
    2×1.25512383254226-π/2
    2.51024766508452-1.57079632675     		φ = 0.93945134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06243717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.168945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93945134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.826597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6785 KachelY 2637 2.06243717 0.93945134 118.168945 53.826597
    Oben rechts KachelX + 1 6786 KachelY 2637 2.06320416 0.93945134 118.212891 53.826597
    Unten links KachelX 6785 KachelY + 1 2638 2.06243717 0.93899850 118.168945 53.800651
    Unten rechts KachelX + 1 6786 KachelY + 1 2638 2.06320416 0.93899850 118.212891 53.800651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93945134-0.93899850) × R
    0.00045284000000001 × 6371000     		dl = 2885.04364000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93945134-0.93899850) × R
    0.00045284000000001 × 6371000     		dr = 2885.04364000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06243717-2.06320416) × cos(0.93945134) × R
    0.000766990000000245 × 0.590231011064945 × 6371000     		do = 2884.15987511969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06243717-2.06320416) × cos(0.93899850) × R
    0.000766990000000245 × 0.590596498554121 × 6371000     		du = 2885.94582728313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93945134)-sin(0.93899850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590231011064945-0.590596498554121)×R²
    abs(2.06320416-2.06243717)×0.00036548748917653×R²
    0.000766990000000245×0.00036548748917653×6371000²
    0.000766990000000245×0.00036548748917653×40589641000000     		ar = 8323503.52166109m²