Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6785 / 11137
↖ ↑ ↗
← S 54.175297°
W 30.915527°		 ← 1 430.03 m → S 54.175297°
W 30.893555°		 →
↑
1 429.84 m
↓
↑
1 429.84 m
↓
S 54.188156°
W 30.915527°		 ← 1 429.59 m →
2 044 403 m²		 S 54.188156°
W 30.893555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414154052734375 y=0.679779052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414154052734375 × 214)
    floor (0.414154052734375 × 16384)
    floor (6785.5)     		tx = 6785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679779052734375 × 214)
    floor (0.679779052734375 × 16384)
    floor (11137.5)     		ty = 11137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6785 / 11137 ti = "14/6785/11137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6785/11137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6785 ÷ 214
    6785 ÷ 16384     		x = 0.41412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11137 ÷ 214
    11137 ÷ 16384     		y = 0.67974853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1717529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53957774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67974853515625 × 2 - 1) × π
    -0.3594970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12939335504852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53957774} λ = -0.53957774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12939335504852))-π/2
    2×atan(0.323229282369485)-π/2
    2×0.312629512867141-π/2
    0.625259025734283-1.57079632675     		φ = -0.94553730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53957774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.915527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94553730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.175297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6785 KachelY 11137 -0.53957774 -0.94553730 -30.915527 -54.175297
    Oben rechts KachelX + 1 6786 KachelY 11137 -0.53919425 -0.94553730 -30.893555 -54.175297
    Unten links KachelX 6785 KachelY + 1 11138 -0.53957774 -0.94576173 -30.915527 -54.188156
    Unten rechts KachelX + 1 6786 KachelY + 1 11138 -0.53919425 -0.94576173 -30.893555 -54.188156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94553730--0.94576173) × R
    0.000224429999999942 × 6371000     		dl = 1429.84352999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94553730--0.94576173) × R
    0.000224429999999942 × 6371000     		dr = 1429.84352999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53957774--0.53919425) × cos(-0.94553730) × R
    0.000383490000000042 × 0.585307314487222 × 6371000     		do = 1430.03148745052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53957774--0.53919425) × cos(-0.94576173) × R
    0.000383490000000042 × 0.585125329315008 × 6371000     		du = 1429.5868585862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94553730)-sin(-0.94576173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585307314487222-0.585125329315008)×R²
    abs(-0.53919425--0.53957774)×0.000181985172214127×R²
    0.000383490000000042×0.000181985172214127×6371000²
    0.000383490000000042×0.000181985172214127×40589641000000     		ar = 2044403.40375569m²