Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67849 / 68325
↖ ↑ ↗
← S  7.637498°
E  6.352844°		 ← 302.72 m → S  7.637498°
E  6.355591°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
S  7.640220°
E  6.352844°		 ← 302.71 m →
91 628 m²		 S  7.640220°
E  6.355591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517650604248047 y=0.521282196044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517650604248047 × 217)
    floor (0.517650604248047 × 131072)
    floor (67849.5)     		tx = 67849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521282196044922 × 217)
    floor (0.521282196044922 × 131072)
    floor (68325.5)     		ty = 68325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67849 / 68325 ti = "17/67849/68325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67849/68325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67849 ÷ 217
    67849 ÷ 131072     		x = 0.517646789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68325 ÷ 217
    68325 ÷ 131072     		y = 0.521278381347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517646789550781 × 2 - 1) × π
    0.0352935791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11087805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521278381347656 × 2 - 1) × π
    -0.0425567626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.133696013040337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11087805} λ = 0.11087805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.133696013040337))-π/2
    2×atan(0.87485596899171)-π/2
    2×0.718748418714366-π/2
    1.43749683742873-1.57079632675     		φ = -0.13329949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11087805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.352844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13329949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.637498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67849 KachelY 68325 0.11087805 -0.13329949 6.352844 -7.637498
    Oben rechts KachelX + 1 67850 KachelY 68325 0.11092599 -0.13329949 6.355591 -7.637498
    Unten links KachelX 67849 KachelY + 1 68326 0.11087805 -0.13334700 6.352844 -7.640220
    Unten rechts KachelX + 1 67850 KachelY + 1 68326 0.11092599 -0.13334700 6.355591 -7.640220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13329949--0.13334700) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13329949--0.13334700) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11087805-0.11092599) × cos(-0.13329949) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.991128770552694 × 6371000     		do = 302.716238181324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11087805-0.11092599) × cos(-0.13334700) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.991122455113777 × 6371000     		du = 302.714309283719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13329949)-sin(-0.13334700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991128770552694-0.991122455113777)×R²
    abs(0.11092599-0.11087805)×6.31543891727038e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.31543891727038e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.31543891727038e-06×40589641000000     		ar = 91627.7389324471m²