Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67845 / 68759
↖ ↑ ↗
← S  8.817225°
E  6.341858°		 ← 301.82 m → S  8.817225°
E  6.344605°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.819939°
E  6.341858°		 ← 301.81 m →
91 086 m²		 S  8.819939°
E  6.344605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517620086669922 y=0.524593353271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517620086669922 × 217)
    floor (0.517620086669922 × 131072)
    floor (67845.5)     		tx = 67845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524593353271484 × 217)
    floor (0.524593353271484 × 131072)
    floor (68759.5)     		ty = 68759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67845 / 68759 ti = "17/67845/68759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67845/68759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67845 ÷ 217
    67845 ÷ 131072     		x = 0.517616271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68759 ÷ 217
    68759 ÷ 131072     		y = 0.524589538574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517616271972656 × 2 - 1) × π
    0.0352325439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11068630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524589538574219 × 2 - 1) × π
    -0.0491790771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.154500627475441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11068630} λ = 0.11068630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154500627475441))-π/2
    2×atan(0.856842954494017)-π/2
    2×0.708453361449856-π/2
    1.41690672289971-1.57079632675     		φ = -0.15388960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11068630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.341858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15388960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.817225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67845 KachelY 68759 0.11068630 -0.15388960 6.341858 -8.817225
    Oben rechts KachelX + 1 67846 KachelY 68759 0.11073424 -0.15388960 6.344605 -8.817225
    Unten links KachelX 67845 KachelY + 1 68760 0.11068630 -0.15393697 6.341858 -8.819939
    Unten rechts KachelX + 1 67846 KachelY + 1 68760 0.11073424 -0.15393697 6.344605 -8.819939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15388960--0.15393697) × R
    4.73700000000188e-05 × 6371000     		dl = 301.79427000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15388960--0.15393697) × R
    4.73700000000188e-05 × 6371000     		dr = 301.79427000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11068630-0.11073424) × cos(-0.15388960) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988182345298068 × 6371000     		do = 301.816324067575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11068630-0.11073424) × cos(-0.15393697) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988175083177625 × 6371000     		du = 301.814106029064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15388960)-sin(-0.15393697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988182345298068-0.988175083177625)×R²
    abs(0.11073424-0.11068630)×7.26212044377395e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.26212044377395e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.26212044377395e-06×40589641000000     		ar = 91086.1025174845m²