Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67841 / 45035
↖ ↑ ↗
← N 48.960384°
E  6.330871°		 ← 200.54 m → N 48.960384°
E  6.333618°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
N 48.958581°
E  6.330871°		 ← 200.54 m →
40 207 m²		 N 48.958581°
E  6.333618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517589569091797 y=0.343593597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517589569091797 × 217)
    floor (0.517589569091797 × 131072)
    floor (67841.5)     		tx = 67841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343593597412109 × 217)
    floor (0.343593597412109 × 131072)
    floor (45035.5)     		ty = 45035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67841 / 45035 ti = "17/67841/45035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67841/45035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67841 ÷ 217
    67841 ÷ 131072     		x = 0.517585754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45035 ÷ 217
    45035 ÷ 131072     		y = 0.343589782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517585754394531 × 2 - 1) × π
    0.0351715087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11049455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343589782714844 × 2 - 1) × π
    0.312820434570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.982754379110771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11049455} λ = 0.11049455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982754379110771))-π/2
    2×atan(2.6718052809173)-π/2
    2×1.21265811574288-π/2
    2.42531623148576-1.57079632675     		φ = 0.85451990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11049455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.330871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85451990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.960384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67841 KachelY 45035 0.11049455 0.85451990 6.330871 48.960384
    Oben rechts KachelX + 1 67842 KachelY 45035 0.11054249 0.85451990 6.333618 48.960384
    Unten links KachelX 67841 KachelY + 1 45036 0.11049455 0.85448843 6.330871 48.958581
    Unten rechts KachelX + 1 67842 KachelY + 1 45036 0.11054249 0.85448843 6.333618 48.958581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85451990-0.85448843) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dl = 200.495370000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85451990-0.85448843) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dr = 200.495370000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11049455-0.11054249) × cos(0.85451990) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.656580703593846 × 6371000     		do = 200.536647264856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11049455-0.11054249) × cos(0.85448843) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.656604439698071 × 6371000     		du = 200.543896882053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85451990)-sin(0.85448843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656580703593846-0.656604439698071)×R²
    abs(0.11054249-0.11049455)×2.3736104225125e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3736104225125e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3736104225125e-05×40589641000000     		ar = 40207.396052665m²