Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6784 / 7809
↖ ↑ ↗
← N 79.559551°
W142.734375°		 ← 110.68 m → N 79.559551°
W142.728882°		 →
↑
110.66 m
↓
↑
110.66 m
↓
N 79.558555°
W142.734375°		 ← 110.69 m →
12 249 m²		 N 79.558555°
W142.728882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103523254394531 y=0.119163513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103523254394531 × 216)
    floor (0.103523254394531 × 65536)
    floor (6784.5)     		tx = 6784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119163513183594 × 216)
    floor (0.119163513183594 × 65536)
    floor (7809.5)     		ty = 7809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6784 / 7809 ti = "16/6784/7809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6784/7809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6784 ÷ 216
    6784 ÷ 65536     		x = 0.103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7809 ÷ 216
    7809 ÷ 65536     		y = 0.119155883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103515625 × 2 - 1) × π
    -0.79296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.49118480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119155883789062 × 2 - 1) × π
    0.761688232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39291415523396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49118480} λ = -2.49118480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39291415523396))-π/2
    2×atan(10.9453439439203)-π/2
    2×1.47968622048269-π/2
    2.95937244096539-1.57079632675     		φ = 1.38857611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49118480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38857611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.559551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6784 KachelY 7809 -2.49118480 1.38857611 -142.734375 79.559551
    Oben rechts KachelX + 1 6785 KachelY 7809 -2.49108893 1.38857611 -142.728882 79.559551
    Unten links KachelX 6784 KachelY + 1 7810 -2.49118480 1.38855874 -142.734375 79.558555
    Unten rechts KachelX + 1 6785 KachelY + 1 7810 -2.49108893 1.38855874 -142.728882 79.558555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38857611-1.38855874) × R
    1.73700000001276e-05 × 6371000     		dl = 110.664270000813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38857611-1.38855874) × R
    1.73700000001276e-05 × 6371000     		dr = 110.664270000813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49118480--2.49108893) × cos(1.38857611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181213476670871 × 6371000     		do = 110.682975309746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49118480--2.49108893) × cos(1.38855874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181230559062058 × 6371000     		du = 110.693409025365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38857611)-sin(1.38855874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181213476670871-0.181230559062058)×R²
    abs(-2.49108893--2.49118480)×1.70823911860851e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70823911860851e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70823911860851e-05×40589641000000     		ar = 12249.227984032m²