Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67837 / 68602
↖ ↑ ↗
← S  8.390865°
E  6.319885°		 ← 302.09 m → S  8.390865°
E  6.322632°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.393582°
E  6.319885°		 ← 302.09 m →
91 266 m²		 S  8.393582°
E  6.322632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517559051513672 y=0.523395538330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517559051513672 × 217)
    floor (0.517559051513672 × 131072)
    floor (67837.5)     		tx = 67837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523395538330078 × 217)
    floor (0.523395538330078 × 131072)
    floor (68602.5)     		ty = 68602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67837 / 68602 ti = "17/67837/68602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67837/68602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67837 ÷ 217
    67837 ÷ 131072     		x = 0.517555236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68602 ÷ 217
    68602 ÷ 131072     		y = 0.523391723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517555236816406 × 2 - 1) × π
    0.0351104736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11030281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523391723632812 × 2 - 1) × π
    -0.046783447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.146974534235092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11030281} λ = 0.11030281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146974534235092))-π/2
    2×atan(0.863315962137722)-π/2
    2×0.712174049093241-π/2
    1.42434809818648-1.57079632675     		φ = -0.14644823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11030281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.319885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14644823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.390865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67837 KachelY 68602 0.11030281 -0.14644823 6.319885 -8.390865
    Oben rechts KachelX + 1 67838 KachelY 68602 0.11035074 -0.14644823 6.322632 -8.390865
    Unten links KachelX 67837 KachelY + 1 68603 0.11030281 -0.14649565 6.319885 -8.393582
    Unten rechts KachelX + 1 67838 KachelY + 1 68603 0.11035074 -0.14649565 6.322632 -8.393582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14644823--0.14649565) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14644823--0.14649565) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11030281-0.11035074) × cos(-0.14644823) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989295609994178 × 6371000     		do = 302.093315737921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11030281-0.11035074) × cos(-0.14649565) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989288689103696 × 6371000     		du = 302.091202360754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14644823)-sin(-0.14649565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989295609994178-0.989288689103696)×R²
    abs(0.11035074-0.11030281)×6.92089048204281e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.92089048204281e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.92089048204281e-06×40589641000000     		ar = 91265.9442986617m²