Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67836 / 47171
↖ ↑ ↗
← N 44.958967°
E  6.317139°		 ← 216.12 m → N 44.958967°
E  6.319885°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
N 44.957024°
E  6.317139°		 ← 216.13 m →
46 706 m²		 N 44.957024°
E  6.319885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517551422119141 y=0.359889984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517551422119141 × 217)
    floor (0.517551422119141 × 131072)
    floor (67836.5)     		tx = 67836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359889984130859 × 217)
    floor (0.359889984130859 × 131072)
    floor (47171.5)     		ty = 47171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67836 / 47171 ti = "17/67836/47171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67836/47171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67836 ÷ 217
    67836 ÷ 131072     		x = 0.517547607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47171 ÷ 217
    47171 ÷ 131072     		y = 0.359886169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517547607421875 × 2 - 1) × π
    0.03509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11025487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359886169433594 × 2 - 1) × π
    0.280227661132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.880361161522331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11025487} λ = 0.11025487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880361161522331))-π/2
    2×atan(2.41177058788034)-π/2
    2×1.17773917050326-π/2
    2.35547834100652-1.57079632675     		φ = 0.78468201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11025487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.317139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78468201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.958967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67836 KachelY 47171 0.11025487 0.78468201 6.317139 44.958967
    Oben rechts KachelX + 1 67837 KachelY 47171 0.11030281 0.78468201 6.319885 44.958967
    Unten links KachelX 67836 KachelY + 1 47172 0.11025487 0.78464809 6.317139 44.957024
    Unten rechts KachelX + 1 67837 KachelY + 1 47172 0.11030281 0.78464809 6.319885 44.957024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78468201-0.78464809) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78468201-0.78464809) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11025487-0.11030281) × cos(0.78468201) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.707612996738036 × 6371000     		do = 216.123223162315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11025487-0.11030281) × cos(0.78464809) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.707636964209838 × 6371000     		du = 216.130543445127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78468201)-sin(0.78464809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707612996738036-0.707636964209838)×R²
    abs(0.11030281-0.11025487)×2.39674718025551e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39674718025551e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39674718025551e-05×40589641000000     		ar = 46705.9531545783m²