Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67833 / 47175
↖ ↑ ↗
← N 44.951193°
E  6.308899°		 ← 216.15 m → N 44.951193°
E  6.311646°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
N 44.949249°
E  6.308899°		 ← 216.16 m →
46 712 m²		 N 44.949249°
E  6.311646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517528533935547 y=0.359920501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517528533935547 × 217)
    floor (0.517528533935547 × 131072)
    floor (67833.5)     		tx = 67833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359920501708984 × 217)
    floor (0.359920501708984 × 131072)
    floor (47175.5)     		ty = 47175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67833 / 47175 ti = "17/67833/47175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67833/47175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67833 ÷ 217
    67833 ÷ 131072     		x = 0.517524719238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47175 ÷ 217
    47175 ÷ 131072     		y = 0.359916687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517524719238281 × 2 - 1) × π
    0.0350494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11011106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359916687011719 × 2 - 1) × π
    0.280166625976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.880169413923851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11011106} λ = 0.11011106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880169413923851))-π/2
    2×atan(2.41130818099615)-π/2
    2×1.17767132436127-π/2
    2.35534264872254-1.57079632675     		φ = 0.78454632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11011106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.308899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78454632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.951193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67833 KachelY 47175 0.11011106 0.78454632 6.308899 44.951193
    Oben rechts KachelX + 1 67834 KachelY 47175 0.11015900 0.78454632 6.311646 44.951193
    Unten links KachelX 67833 KachelY + 1 47176 0.11011106 0.78451240 6.308899 44.949249
    Unten rechts KachelX + 1 67834 KachelY + 1 47176 0.11015900 0.78451240 6.311646 44.949249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78454632-0.78451240) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78454632-0.78451240) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11011106-0.11015900) × cos(0.78454632) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.707708868805077 × 6371000     		do = 216.1525049594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11011106-0.11015900) × cos(0.78451240) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.707732833019741 × 6371000     		du = 216.159824247397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78454632)-sin(0.78451240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707708868805077-0.707732833019741)×R²
    abs(0.11015900-0.11011106)×2.39642146637742e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39642146637742e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39642146637742e-05×40589641000000     		ar = 46712.2809699564m²