Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67830 / 45050
↖ ↑ ↗
← N 48.933326°
E  6.300659°		 ← 200.60 m → N 48.933326°
E  6.303405°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
N 48.931522°
E  6.300659°		 ← 200.61 m →
40 246 m²		 N 48.931522°
E  6.303405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517505645751953 y=0.343708038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517505645751953 × 217)
    floor (0.517505645751953 × 131072)
    floor (67830.5)     		tx = 67830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343708038330078 × 217)
    floor (0.343708038330078 × 131072)
    floor (45050.5)     		ty = 45050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67830 / 45050 ti = "17/67830/45050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67830/45050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67830 ÷ 217
    67830 ÷ 131072     		x = 0.517501831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45050 ÷ 217
    45050 ÷ 131072     		y = 0.343704223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517501831054688 × 2 - 1) × π
    0.035003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10996725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343704223632812 × 2 - 1) × π
    0.312591552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.98203532561647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10996725} λ = 0.10996725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98203532561647))-π/2
    2×atan(2.66988480054078)-π/2
    2×1.2124219934036-π/2
    2.4248439868072-1.57079632675     		φ = 0.85404766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10996725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.300659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85404766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.933326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67830 KachelY 45050 0.10996725 0.85404766 6.300659 48.933326
    Oben rechts KachelX + 1 67831 KachelY 45050 0.11001518 0.85404766 6.303405 48.933326
    Unten links KachelX 67830 KachelY + 1 45051 0.10996725 0.85401617 6.300659 48.931522
    Unten rechts KachelX + 1 67831 KachelY + 1 45051 0.11001518 0.85401617 6.303405 48.931522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85404766-0.85401617) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dl = 200.622790000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85404766-0.85401617) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dr = 200.622790000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10996725-0.11001518) × cos(0.85404766) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.656936820117297 × 6371000     		do = 200.603560972769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10996725-0.11001518) × cos(0.85401617) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.656960561539495 × 6371000     		du = 200.610810701647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85404766)-sin(0.85401617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656936820117297-0.656960561539495)×R²
    abs(0.11001518-0.10996725)×2.37414221976318e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37414221976318e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37414221976318e-05×40589641000000     		ar = 40246.3733201558m²