Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6783 / 7807
↖ ↑ ↗
← N 79.561542°
W142.739868°		 ← 110.66 m → N 79.561542°
W142.734375°		 →
↑
110.66 m
↓
↑
110.66 m
↓
N 79.560546°
W142.739868°		 ← 110.67 m →
12 247 m²		 N 79.560546°
W142.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103507995605469 y=0.119132995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103507995605469 × 216)
    floor (0.103507995605469 × 65536)
    floor (6783.5)     		tx = 6783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119132995605469 × 216)
    floor (0.119132995605469 × 65536)
    floor (7807.5)     		ty = 7807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6783 / 7807 ti = "16/6783/7807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6783/7807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6783 ÷ 216
    6783 ÷ 65536     		x = 0.103500366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7807 ÷ 216
    7807 ÷ 65536     		y = 0.119125366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103500366210938 × 2 - 1) × π
    -0.792999267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49128067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119125366210938 × 2 - 1) × π
    0.761749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39310590283244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49128067} λ = -2.49128067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39310590283244))-π/2
    2×atan(10.9474428885635)-π/2
    2×1.47970359246878-π/2
    2.95940718493757-1.57079632675     		φ = 1.38861086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49128067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.739868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38861086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.561542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6783 KachelY 7807 -2.49128067 1.38861086 -142.739868 79.561542
    Oben rechts KachelX + 1 6784 KachelY 7807 -2.49118480 1.38861086 -142.734375 79.561542
    Unten links KachelX 6783 KachelY + 1 7808 -2.49128067 1.38859349 -142.739868 79.560546
    Unten rechts KachelX + 1 6784 KachelY + 1 7808 -2.49118480 1.38859349 -142.734375 79.560546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38861086-1.38859349) × R
    1.73699999999055e-05 × 6371000     		dl = 110.664269999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38861086-1.38859349) × R
    1.73699999999055e-05 × 6371000     		dr = 110.664269999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49128067--2.49118480) × cos(1.38861086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181179301889978 × 6371000     		do = 110.662101771534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49128067--2.49118480) × cos(1.38859349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181196384390541 × 6371000     		du = 110.672535553959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38861086)-sin(1.38859349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181179301889978-0.181196384390541)×R²
    abs(-2.49118480--2.49128067)×1.70825005625375e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70825005625375e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70825005625375e-05×40589641000000     		ar = 12246.9180330903m²