Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6783 / 7806
↖ ↑ ↗
← N 79.562537°
W142.739868°		 ← 110.65 m → N 79.562537°
W142.734375°		 →
↑
110.66 m
↓
↑
110.66 m
↓
N 79.561542°
W142.739868°		 ← 110.66 m →
12 246 m²		 N 79.561542°
W142.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103507995605469 y=0.119117736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103507995605469 × 216)
    floor (0.103507995605469 × 65536)
    floor (6783.5)     		tx = 6783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119117736816406 × 216)
    floor (0.119117736816406 × 65536)
    floor (7806.5)     		ty = 7806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6783 / 7806 ti = "16/6783/7806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6783/7806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6783 ÷ 216
    6783 ÷ 65536     		x = 0.103500366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7806 ÷ 216
    7806 ÷ 65536     		y = 0.119110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103500366210938 × 2 - 1) × π
    -0.792999267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49128067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119110107421875 × 2 - 1) × π
    0.76177978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39320177663168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49128067} λ = -2.49128067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39320177663168))-π/2
    2×atan(10.94849251182)-π/2
    2×1.47971227723344-π/2
    2.95942455446688-1.57079632675     		φ = 1.38862823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49128067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.739868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38862823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.562537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6783 KachelY 7806 -2.49128067 1.38862823 -142.739868 79.562537
    Oben rechts KachelX + 1 6784 KachelY 7806 -2.49118480 1.38862823 -142.734375 79.562537
    Unten links KachelX 6783 KachelY + 1 7807 -2.49128067 1.38861086 -142.739868 79.561542
    Unten rechts KachelX + 1 6784 KachelY + 1 7807 -2.49118480 1.38861086 -142.734375 79.561542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38862823-1.38861086) × R
    1.73699999999055e-05 × 6371000     		dl = 110.664269999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38862823-1.38861086) × R
    1.73699999999055e-05 × 6371000     		dr = 110.664269999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49128067--2.49118480) × cos(1.38862823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181162219334751 × 6371000     		do = 110.651667955721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49128067--2.49118480) × cos(1.38861086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181179301889978 × 6371000     		du = 110.662101771534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38862823)-sin(1.38861086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181162219334751-0.181179301889978)×R²
    abs(-2.49118480--2.49128067)×1.70825552273657e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70825552273657e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70825552273657e-05×40589641000000     		ar = 12245.7633837978m²