Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6783 / 2183
↖ ↑ ↗
← N 82.484772°
W105.479736°		 ← 159.77 m → N 82.484772°
W105.468750°		 →
↑
159.78 m
↓
↑
159.78 m
↓
N 82.483335°
W105.479736°		 ← 159.80 m →
25 531 m²		 N 82.483335°
W105.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.207015991210938 y=0.0666351318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.207015991210938 × 215)
    floor (0.207015991210938 × 32768)
    floor (6783.5)     		tx = 6783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0666351318359375 × 215)
    floor (0.0666351318359375 × 32768)
    floor (2183.5)     		ty = 2183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6783 / 2183 ti = "15/6783/2183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6783/2183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6783 ÷ 215
    6783 ÷ 32768     		x = 0.207000732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2183 ÷ 215
    2183 ÷ 32768     		y = 0.066619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.207000732421875 × 2 - 1) × π
    -0.58599853515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.84096869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.066619873046875 × 2 - 1) × π
    0.86676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.72300764601767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84096869} λ = -1.84096869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72300764601767))-π/2
    2×atan(15.2260480096886)-π/2
    2×1.50521359057419-π/2
    3.01042718114838-1.57079632675     		φ = 1.43963085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84096869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.479736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43963085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.484772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6783 KachelY 2183 -1.84096869 1.43963085 -105.479736 82.484772
    Oben rechts KachelX + 1 6784 KachelY 2183 -1.84077695 1.43963085 -105.468750 82.484772
    Unten links KachelX 6783 KachelY + 1 2184 -1.84096869 1.43960577 -105.479736 82.483335
    Unten rechts KachelX + 1 6784 KachelY + 1 2184 -1.84077695 1.43960577 -105.468750 82.483335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43963085-1.43960577) × R
    2.50799999998996e-05 × 6371000     		dl = 159.784679999361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43963085-1.43960577) × R
    2.50799999998996e-05 × 6371000     		dr = 159.784679999361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84096869--1.84077695) × cos(1.43963085) × R
    0.000191739999999996 × 0.130789696692536 × 6371000     		do = 159.769494363618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84096869--1.84077695) × cos(1.43960577) × R
    0.000191739999999996 × 0.130814561217579 × 6371000     		du = 159.799868259224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43963085)-sin(1.43960577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130789696692536-0.130814561217579)×R²
    abs(-1.84077695--1.84096869)×2.48645250424673e-05×R²
    0.000191739999999996×2.48645250424673e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.48645250424673e-05×40589641000000     		ar = 25531.1441738556m²