Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67829 / 47172
↖ ↑ ↗
← N 44.957024°
E  6.297913°		 ← 216.13 m → N 44.957024°
E  6.300659°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
N 44.955080°
E  6.297913°		 ← 216.14 m →
46 708 m²		 N 44.955080°
E  6.300659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517498016357422 y=0.359897613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517498016357422 × 217)
    floor (0.517498016357422 × 131072)
    floor (67829.5)     		tx = 67829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359897613525391 × 217)
    floor (0.359897613525391 × 131072)
    floor (47172.5)     		ty = 47172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67829 / 47172 ti = "17/67829/47172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67829/47172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67829 ÷ 217
    67829 ÷ 131072     		x = 0.517494201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47172 ÷ 217
    47172 ÷ 131072     		y = 0.359893798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517494201660156 × 2 - 1) × π
    0.0349884033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10991931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359893798828125 × 2 - 1) × π
    0.28021240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.880313224622711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10991931} λ = 0.10991931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880313224622711))-π/2
    2×atan(2.41165497784678)-π/2
    2×1.17772220982949-π/2
    2.35544441965898-1.57079632675     		φ = 0.78464809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10991931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.297913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78464809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.957024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67829 KachelY 47172 0.10991931 0.78464809 6.297913 44.957024
    Oben rechts KachelX + 1 67830 KachelY 47172 0.10996725 0.78464809 6.300659 44.957024
    Unten links KachelX 67829 KachelY + 1 47173 0.10991931 0.78461417 6.297913 44.955080
    Unten rechts KachelX + 1 67830 KachelY + 1 47173 0.10996725 0.78461417 6.300659 44.955080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78464809-0.78461417) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78464809-0.78461417) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10991931-0.10996725) × cos(0.78464809) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.707636964209838 × 6371000     		do = 216.130543445127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10991931-0.10996725) × cos(0.78461417) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.707660930867457 × 6371000     		du = 216.137863479265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78464809)-sin(0.78461417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707636964209838-0.707660930867457)×R²
    abs(0.10996725-0.10991931)×2.39666576192787e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39666576192787e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39666576192787e-05×40589641000000     		ar = 46707.5350726117m²