Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67826 / 47722
↖ ↑ ↗
← N 43.878098°
E  6.289673°		 ← 220.16 m → N 43.878098°
E  6.292420°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
N 43.876118°
E  6.289673°		 ← 220.16 m →
48 475 m²		 N 43.876118°
E  6.292420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517475128173828 y=0.364093780517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517475128173828 × 217)
    floor (0.517475128173828 × 131072)
    floor (67826.5)     		tx = 67826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364093780517578 × 217)
    floor (0.364093780517578 × 131072)
    floor (47722.5)     		ty = 47722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67826 / 47722 ti = "17/67826/47722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67826/47722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67826 ÷ 217
    67826 ÷ 131072     		x = 0.517471313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47722 ÷ 217
    47722 ÷ 131072     		y = 0.364089965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517471313476562 × 2 - 1) × π
    0.034942626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10977550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364089965820312 × 2 - 1) × π
    0.271820068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.85394792983168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10977550} λ = 0.10977550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.85394792983168))-π/2
    2×atan(2.3489018705896)-π/2
    2×1.16830680209766-π/2
    2.33661360419532-1.57079632675     		φ = 0.76581728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10977550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.289673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76581728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.878098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67826 KachelY 47722 0.10977550 0.76581728 6.289673 43.878098
    Oben rechts KachelX + 1 67827 KachelY 47722 0.10982344 0.76581728 6.292420 43.878098
    Unten links KachelX 67826 KachelY + 1 47723 0.10977550 0.76578272 6.289673 43.876118
    Unten rechts KachelX + 1 67827 KachelY + 1 47723 0.10982344 0.76578272 6.292420 43.876118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76581728-0.76578272) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dl = 220.181760000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76581728-0.76578272) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dr = 220.181760000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10977550-0.10982344) × cos(0.76581728) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.720816119938997 × 6371000     		do = 220.15579683628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10977550-0.10982344) × cos(0.76578272) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.720840073954785 × 6371000     		du = 220.163113009278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76581728)-sin(0.76578272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720816119938997-0.720840073954785)×R²
    abs(0.10982344-0.10977550)×2.39540157875862e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39540157875862e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39540157875862e-05×40589641000000     		ar = 48475.0962703724m²