Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67825 / 47727
↖ ↑ ↗
← N 43.868198°
E  6.286926°		 ← 220.19 m → N 43.868198°
E  6.289673°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
N 43.866218°
E  6.286926°		 ← 220.20 m →
48 483 m²		 N 43.866218°
E  6.289673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517467498779297 y=0.364131927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517467498779297 × 217)
    floor (0.517467498779297 × 131072)
    floor (67825.5)     		tx = 67825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364131927490234 × 217)
    floor (0.364131927490234 × 131072)
    floor (47727.5)     		ty = 47727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67825 / 47727 ti = "17/67825/47727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67825/47727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67825 ÷ 217
    67825 ÷ 131072     		x = 0.517463684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47727 ÷ 217
    47727 ÷ 131072     		y = 0.364128112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517463684082031 × 2 - 1) × π
    0.0349273681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10972756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364128112792969 × 2 - 1) × π
    0.271743774414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.85370824533358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10972756} λ = 0.10972756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.85370824533358))-π/2
    2×atan(2.34833894268891)-π/2
    2×1.16822041069694-π/2
    2.33644082139387-1.57079632675     		φ = 0.76564449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10972756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.286926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76564449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.868198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67825 KachelY 47727 0.10972756 0.76564449 6.286926 43.868198
    Oben rechts KachelX + 1 67826 KachelY 47727 0.10977550 0.76564449 6.289673 43.868198
    Unten links KachelX 67825 KachelY + 1 47728 0.10972756 0.76560993 6.286926 43.866218
    Unten rechts KachelX + 1 67826 KachelY + 1 47728 0.10977550 0.76560993 6.289673 43.866218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76564449-0.76560993) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dl = 220.181760000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76564449-0.76560993) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dr = 220.181760000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10972756-0.10977550) × cos(0.76564449) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.720935874477963 × 6371000     		do = 220.192372954962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10972756-0.10977550) × cos(0.76560993) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.72095982418888 × 6371000     		du = 220.199687813142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76564449)-sin(0.76560993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720935874477963-0.72095982418888)×R²
    abs(0.10977550-0.10972756)×2.3949710916793e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3949710916793e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3949710916793e-05×40589641000000     		ar = 48483.1495199275m²