Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67824 / 47729
↖ ↑ ↗
← N 43.864238°
E  6.284180°		 ← 220.16 m → N 43.864238°
E  6.286926°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
N 43.862257°
E  6.284180°		 ← 220.17 m →
48 476 m²		 N 43.862257°
E  6.286926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517459869384766 y=0.364147186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517459869384766 × 217)
    floor (0.517459869384766 × 131072)
    floor (67824.5)     		tx = 67824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364147186279297 × 217)
    floor (0.364147186279297 × 131072)
    floor (47729.5)     		ty = 47729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67824 / 47729 ti = "17/67824/47729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67824/47729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67824 ÷ 217
    67824 ÷ 131072     		x = 0.5174560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47729 ÷ 217
    47729 ÷ 131072     		y = 0.364143371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5174560546875 × 2 - 1) × π
    0.034912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10967963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364143371582031 × 2 - 1) × π
    0.271713256835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.85361237153434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10967963} λ = 0.10967963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.85361237153434))-π/2
    2×atan(2.34811380930494)-π/2
    2×1.16818585011837-π/2
    2.33637170023673-1.57079632675     		φ = 0.76557537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10967963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76557537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.864238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67824 KachelY 47729 0.10967963 0.76557537 6.284180 43.864238
    Oben rechts KachelX + 1 67825 KachelY 47729 0.10972756 0.76557537 6.286926 43.864238
    Unten links KachelX 67824 KachelY + 1 47730 0.10967963 0.76554081 6.284180 43.862257
    Unten rechts KachelX + 1 67825 KachelY + 1 47730 0.10972756 0.76554081 6.286926 43.862257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76557537-0.76554081) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dl = 220.181760000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76557537-0.76554081) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dr = 220.181760000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10967963-0.10972756) × cos(0.76557537) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.720983773038687 × 6371000     		do = 220.16106853216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10967963-0.10972756) × cos(0.76554081) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721007721027356 × 6371000     		du = 220.168381338594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76557537)-sin(0.76554081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720983773038687-0.721007721027356)×R²
    abs(0.10972756-0.10967963)×2.39479886686711e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39479886686711e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39479886686711e-05×40589641000000     		ar = 48476.256630982m²