Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67824 / 44944
↖ ↑ ↗
← N 49.124219°
E  6.284180°		 ← 199.84 m → N 49.124219°
E  6.286926°		 →
↑
199.86 m
↓
↑
199.86 m
↓
N 49.122422°
E  6.284180°		 ← 199.84 m →
39 939 m²		 N 49.122422°
E  6.286926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517459869384766 y=0.342899322509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517459869384766 × 217)
    floor (0.517459869384766 × 131072)
    floor (67824.5)     		tx = 67824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342899322509766 × 217)
    floor (0.342899322509766 × 131072)
    floor (44944.5)     		ty = 44944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67824 / 44944 ti = "17/67824/44944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67824/44944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67824 ÷ 217
    67824 ÷ 131072     		x = 0.5174560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44944 ÷ 217
    44944 ÷ 131072     		y = 0.3428955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5174560546875 × 2 - 1) × π
    0.034912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10967963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3428955078125 × 2 - 1) × π
    0.314208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.987116636976196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10967963} λ = 0.10967963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987116636976196))-π/2
    2×atan(2.68348584280763)-π/2
    2×1.21408784756796-π/2
    2.42817569513593-1.57079632675     		φ = 0.85737937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10967963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85737937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.124219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67824 KachelY 44944 0.10967963 0.85737937 6.284180 49.124219
    Oben rechts KachelX + 1 67825 KachelY 44944 0.10972756 0.85737937 6.286926 49.124219
    Unten links KachelX 67824 KachelY + 1 44945 0.10967963 0.85734800 6.284180 49.122422
    Unten rechts KachelX + 1 67825 KachelY + 1 44945 0.10972756 0.85734800 6.286926 49.122422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85737937-0.85734800) × R
    3.1369999999975e-05 × 6371000     		dl = 199.858269999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85737937-0.85734800) × R
    3.1369999999975e-05 × 6371000     		dr = 199.858269999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10967963-0.10972756) × cos(0.85737937) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654421250474776 × 6371000     		do = 199.835401520123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10967963-0.10972756) × cos(0.85734800) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654444969956058 × 6371000     		du = 199.842644549078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85737937)-sin(0.85734800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654421250474776-0.654444969956058)×R²
    abs(0.10972756-0.10967963)×2.37194812822139e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37194812822139e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37194812822139e-05×40589641000000     		ar = 39939.4814253647m²