Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67823 / 47728
↖ ↑ ↗
← N 43.866218°
E  6.281433°		 ← 220.20 m → N 43.866218°
E  6.284180°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
N 43.864238°
E  6.281433°		 ← 220.21 m →
48 485 m²		 N 43.864238°
E  6.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517452239990234 y=0.364139556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517452239990234 × 217)
    floor (0.517452239990234 × 131072)
    floor (67823.5)     		tx = 67823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364139556884766 × 217)
    floor (0.364139556884766 × 131072)
    floor (47728.5)     		ty = 47728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67823 / 47728 ti = "17/67823/47728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67823/47728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67823 ÷ 217
    67823 ÷ 131072     		x = 0.517448425292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47728 ÷ 217
    47728 ÷ 131072     		y = 0.3641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517448425292969 × 2 - 1) × π
    0.0348968505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10963169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3641357421875 × 2 - 1) × π
    0.271728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.85366030843396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10963169} λ = 0.10963169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.85366030843396))-π/2
    2×atan(2.34822637329887)-π/2
    2×1.16820313069467-π/2
    2.33640626138934-1.57079632675     		φ = 0.76560993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10963169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.281433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76560993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.866218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67823 KachelY 47728 0.10963169 0.76560993 6.281433 43.866218
    Oben rechts KachelX + 1 67824 KachelY 47728 0.10967963 0.76560993 6.284180 43.866218
    Unten links KachelX 67823 KachelY + 1 47729 0.10963169 0.76557537 6.281433 43.864238
    Unten rechts KachelX + 1 67824 KachelY + 1 47729 0.10967963 0.76557537 6.284180 43.864238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76560993-0.76557537) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dl = 220.181760000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76560993-0.76557537) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dr = 220.181760000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10963169-0.10967963) × cos(0.76560993) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.72095982418888 × 6371000     		do = 220.199687813142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10963169-0.10967963) × cos(0.76557537) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.720983773038687 × 6371000     		du = 220.207002408316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76560993)-sin(0.76557537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72095982418888-0.720983773038687)×R²
    abs(0.10967963-0.10963169)×2.39488498069429e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39488498069429e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39488498069429e-05×40589641000000     		ar = 48484.760089128m²