Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67823 / 47723
↖ ↑ ↗
← N 43.876118°
E  6.281433°		 ← 220.16 m → N 43.876118°
E  6.284180°		 →
↑
220.12 m
↓
↑
220.12 m
↓
N 43.874138°
E  6.281433°		 ← 220.17 m →
48 463 m²		 N 43.874138°
E  6.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517452239990234 y=0.364101409912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517452239990234 × 217)
    floor (0.517452239990234 × 131072)
    floor (67823.5)     		tx = 67823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364101409912109 × 217)
    floor (0.364101409912109 × 131072)
    floor (47723.5)     		ty = 47723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67823 / 47723 ti = "17/67823/47723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67823/47723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67823 ÷ 217
    67823 ÷ 131072     		x = 0.517448425292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47723 ÷ 217
    47723 ÷ 131072     		y = 0.364097595214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517448425292969 × 2 - 1) × π
    0.0348968505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10963169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364097595214844 × 2 - 1) × π
    0.271804809570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.85389999293206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10963169} λ = 0.10963169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.85389999293206))-π/2
    2×atan(2.3487892742152)-π/2
    2×1.1682895249656-π/2
    2.3365790499312-1.57079632675     		φ = 0.76578272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10963169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.281433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76578272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.876118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67823 KachelY 47723 0.10963169 0.76578272 6.281433 43.876118
    Oben rechts KachelX + 1 67824 KachelY 47723 0.10967963 0.76578272 6.284180 43.876118
    Unten links KachelX 67823 KachelY + 1 47724 0.10963169 0.76574817 6.281433 43.874138
    Unten rechts KachelX + 1 67824 KachelY + 1 47724 0.10967963 0.76574817 6.284180 43.874138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76578272-0.76574817) × R
    3.45500000000776e-05 × 6371000     		dl = 220.118050000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76578272-0.76574817) × R
    3.45500000000776e-05 × 6371000     		dr = 220.118050000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10963169-0.10967963) × cos(0.76578272) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.720840073954785 × 6371000     		do = 220.163113009278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10963169-0.10967963) × cos(0.76574817) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.72086402017884 × 6371000     		du = 220.17042680248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76578272)-sin(0.76574817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720840073954785-0.72086402017884)×R²
    abs(0.10967963-0.10963169)×2.39462240556598e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39462240556598e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39462240556598e-05×40589641000000     		ar = 48462.6800713088m²