Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67822 / 47725
↖ ↑ ↗
← N 43.872158°
E  6.278686°		 ← 220.18 m → N 43.872158°
E  6.281433°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
N 43.870178°
E  6.278686°		 ← 220.19 m →
48 480 m²		 N 43.870178°
E  6.281433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517444610595703 y=0.364116668701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517444610595703 × 217)
    floor (0.517444610595703 × 131072)
    floor (67822.5)     		tx = 67822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364116668701172 × 217)
    floor (0.364116668701172 × 131072)
    floor (47725.5)     		ty = 47725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67822 / 47725 ti = "17/67822/47725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67822/47725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67822 ÷ 217
    67822 ÷ 131072     		x = 0.517440795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47725 ÷ 217
    47725 ÷ 131072     		y = 0.364112854003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517440795898438 × 2 - 1) × π
    0.034881591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10958375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364112854003906 × 2 - 1) × π
    0.271774291992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.85380411913282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10958375} λ = 0.10958375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.85380411913282))-π/2
    2×atan(2.3485640976583)-π/2
    2×1.16825496897935-π/2
    2.3365099379587-1.57079632675     		φ = 0.76571361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10958375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.278686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76571361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.872158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67822 KachelY 47725 0.10958375 0.76571361 6.278686 43.872158
    Oben rechts KachelX + 1 67823 KachelY 47725 0.10963169 0.76571361 6.281433 43.872158
    Unten links KachelX 67822 KachelY + 1 47726 0.10958375 0.76567905 6.278686 43.870178
    Unten rechts KachelX + 1 67823 KachelY + 1 47726 0.10963169 0.76567905 6.281433 43.870178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76571361-0.76567905) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dl = 220.181760000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76571361-0.76567905) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dr = 220.181760000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10958375-0.10963169) × cos(0.76571361) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.720887972472915 × 6371000     		do = 220.177742449686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10958375-0.10963169) × cos(0.76567905) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.720911923905965 × 6371000     		du = 220.18505783385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76571361)-sin(0.76567905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720887972472915-0.720911923905965)×R²
    abs(0.10963169-0.10958375)×2.39514330504509e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39514330504509e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39514330504509e-05×40589641000000     		ar = 48479.9282074166m²