Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6782 / 2174
↖ ↑ ↗
← N 82.497693°
W105.490723°		 ← 159.50 m → N 82.497693°
W105.479736°		 →
↑
159.53 m
↓
↑
159.53 m
↓
N 82.496258°
W105.490723°		 ← 159.54 m →
25 448 m²		 N 82.496258°
W105.479736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.206985473632812 y=0.0663604736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.206985473632812 × 215)
    floor (0.206985473632812 × 32768)
    floor (6782.5)     		tx = 6782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0663604736328125 × 215)
    floor (0.0663604736328125 × 32768)
    floor (2174.5)     		ty = 2174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6782 / 2174 ti = "15/6782/2174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6782/2174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6782 ÷ 215
    6782 ÷ 32768     		x = 0.20697021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2174 ÷ 215
    2174 ÷ 32768     		y = 0.06634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.20697021484375 × 2 - 1) × π
    -0.5860595703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.84116044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06634521484375 × 2 - 1) × π
    0.8673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.72473337440399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84116044} λ = -1.84116044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72473337440399))-π/2
    2×atan(15.252346718638)-π/2
    2×1.50532634782966-π/2
    3.01065269565932-1.57079632675     		φ = 1.43985637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84116044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.490723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43985637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.497693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6782 KachelY 2174 -1.84116044 1.43985637 -105.490723 82.497693
    Oben rechts KachelX + 1 6783 KachelY 2174 -1.84096869 1.43985637 -105.479736 82.497693
    Unten links KachelX 6782 KachelY + 1 2175 -1.84116044 1.43983133 -105.490723 82.496258
    Unten rechts KachelX + 1 6783 KachelY + 1 2175 -1.84096869 1.43983133 -105.479736 82.496258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43985637-1.43983133) × R
    2.50399999999207e-05 × 6371000     		dl = 159.529839999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43985637-1.43983133) × R
    2.50399999999207e-05 × 6371000     		dr = 159.529839999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84116044--1.84096869) × cos(1.43985637) × R
    0.000191749999999935 × 0.130566110554914 × 6371000     		do = 159.504685373668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84116044--1.84096869) × cos(1.43983133) × R
    0.000191749999999935 × 0.130590936161693 × 6371000     		du = 159.535013309314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43985637)-sin(1.43983133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130566110554914-0.130590936161693)×R²
    abs(-1.84096869--1.84116044)×2.48256067791608e-05×R²
    0.000191749999999935×2.48256067791608e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.48256067791608e-05×40589641000000     		ar = 25448.1760439283m²