Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67819 / 69642
↖ ↑ ↗
← S 11.205345°
E  6.270447°		 ← 299.60 m → S 11.205345°
E  6.273193°		 →
↑
299.56 m
↓
↑
299.56 m
↓
S 11.208039°
E  6.270447°		 ← 299.60 m →
89 750 m²		 S 11.208039°
E  6.273193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517421722412109 y=0.531330108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517421722412109 × 217)
    floor (0.517421722412109 × 131072)
    floor (67819.5)     		tx = 67819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531330108642578 × 217)
    floor (0.531330108642578 × 131072)
    floor (69642.5)     		ty = 69642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67819 / 69642 ti = "17/67819/69642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67819/69642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67819 ÷ 217
    67819 ÷ 131072     		x = 0.517417907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69642 ÷ 217
    69642 ÷ 131072     		y = 0.531326293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517417907714844 × 2 - 1) × π
    0.0348358154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10943994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531326293945312 × 2 - 1) × π
    -0.062652587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.196828909839951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10943994} λ = 0.10943994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.196828909839951))-π/2
    2×atan(0.821331142969109)-π/2
    2×0.687613078154159-π/2
    1.37522615630832-1.57079632675     		φ = -0.19557017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10943994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.270447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19557017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.205345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67819 KachelY 69642 0.10943994 -0.19557017 6.270447 -11.205345
    Oben rechts KachelX + 1 67820 KachelY 69642 0.10948788 -0.19557017 6.273193 -11.205345
    Unten links KachelX 67819 KachelY + 1 69643 0.10943994 -0.19561719 6.270447 -11.208039
    Unten rechts KachelX + 1 67820 KachelY + 1 69643 0.10948788 -0.19561719 6.273193 -11.208039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19557017--0.19561719) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dl = 299.564420000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19557017--0.19561719) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dr = 299.564420000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10943994-0.10948788) × cos(-0.19557017) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980937030224057 × 6371000     		do = 299.603418349562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10943994-0.10948788) × cos(-0.19561719) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980927891937408 × 6371000     		du = 299.6006272816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19557017)-sin(-0.19561719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980937030224057-0.980927891937408)×R²
    abs(0.10948788-0.10943994)×9.13828664839134e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.13828664839134e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.13828664839134e-06×40589641000000     		ar = 89750.1062121383m²