Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67818 / 68406
↖ ↑ ↗
← S  7.857940°
E  6.267700°		 ← 302.56 m → S  7.857940°
E  6.270447°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
S  7.860661°
E  6.267700°		 ← 302.56 m →
91 541 m²		 S  7.860661°
E  6.270447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517414093017578 y=0.521900177001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517414093017578 × 217)
    floor (0.517414093017578 × 131072)
    floor (67818.5)     		tx = 67818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521900177001953 × 217)
    floor (0.521900177001953 × 131072)
    floor (68406.5)     		ty = 68406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67818 / 68406 ti = "17/67818/68406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67818/68406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67818 ÷ 217
    67818 ÷ 131072     		x = 0.517410278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68406 ÷ 217
    68406 ÷ 131072     		y = 0.521896362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517410278320312 × 2 - 1) × π
    0.034820556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10939200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521896362304688 × 2 - 1) × π
    -0.043792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.137578901909561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10939200} λ = 0.10939200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137578901909561))-π/2
    2×atan(0.871465586985497)-π/2
    2×0.71682469844261-π/2
    1.43364939688522-1.57079632675     		φ = -0.13714693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10939200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.267700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13714693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.857940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67818 KachelY 68406 0.10939200 -0.13714693 6.267700 -7.857940
    Oben rechts KachelX + 1 67819 KachelY 68406 0.10943994 -0.13714693 6.270447 -7.857940
    Unten links KachelX 67818 KachelY + 1 68407 0.10939200 -0.13719442 6.267700 -7.860661
    Unten rechts KachelX + 1 67819 KachelY + 1 68407 0.10943994 -0.13719442 6.270447 -7.860661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13714693--0.13719442) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dl = 302.558790000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13714693--0.13719442) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dr = 302.558790000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10939200-0.10943994) × cos(-0.13714693) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990610091766068 × 6371000     		do = 302.557820329096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10939200-0.10943994) × cos(-0.13719442) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990603597939921 × 6371000     		du = 302.55583694744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13714693)-sin(-0.13719442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990610091766068-0.990603597939921)×R²
    abs(0.10943994-0.10939200)×6.49382614681393e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.49382614681393e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.49382614681393e-06×40589641000000     		ar = 91541.2279962689m²