Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67816 / 47720
↖ ↑ ↗
← N 43.882057°
E  6.262207°		 ← 220.14 m → N 43.882057°
E  6.264954°		 →
↑
220.12 m
↓
↑
220.12 m
↓
N 43.880078°
E  6.262207°		 ← 220.15 m →
48 458 m²		 N 43.880078°
E  6.264954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517398834228516 y=0.364078521728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517398834228516 × 217)
    floor (0.517398834228516 × 131072)
    floor (67816.5)     		tx = 67816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364078521728516 × 217)
    floor (0.364078521728516 × 131072)
    floor (47720.5)     		ty = 47720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67816 / 47720 ti = "17/67816/47720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67816/47720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67816 ÷ 217
    67816 ÷ 131072     		x = 0.51739501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47720 ÷ 217
    47720 ÷ 131072     		y = 0.36407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51739501953125 × 2 - 1) × π
    0.0347900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10929613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36407470703125 × 2 - 1) × π
    0.2718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.85404380363092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10929613} λ = 0.10929613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.85404380363092))-π/2
    2×atan(2.34912707953163)-π/2
    2×1.16834135463964-π/2
    2.33668270927928-1.57079632675     		φ = 0.76588638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10929613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76588638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.882057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67816 KachelY 47720 0.10929613 0.76588638 6.262207 43.882057
    Oben rechts KachelX + 1 67817 KachelY 47720 0.10934407 0.76588638 6.264954 43.882057
    Unten links KachelX 67816 KachelY + 1 47721 0.10929613 0.76585183 6.262207 43.880078
    Unten rechts KachelX + 1 67817 KachelY + 1 47721 0.10934407 0.76585183 6.264954 43.880078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76588638-0.76585183) × R
    3.45499999999666e-05 × 6371000     		dl = 220.118049999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76588638-0.76585183) × R
    3.45499999999666e-05 × 6371000     		dr = 220.118049999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10929613-0.10934407) × cos(0.76588638) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.720768223188159 × 6371000     		do = 220.141167935712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10929613-0.10934407) × cos(0.76585183) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.720792171993784 × 6371000     		du = 220.148482517392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76588638)-sin(0.76585183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720768223188159-0.720792171993784)×R²
    abs(0.10934407-0.10929613)×2.39488056246184e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39488056246184e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39488056246184e-05×40589641000000     		ar = 48457.8496512741m²