Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67815 / 68381
↖ ↑ ↗
← S  7.789915°
E  6.259460°		 ← 302.61 m → S  7.789915°
E  6.262207°		 →
↑
302.62 m
↓
↑
302.62 m
↓
S  7.792636°
E  6.259460°		 ← 302.61 m →
91 575 m²		 S  7.792636°
E  6.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517391204833984 y=0.521709442138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517391204833984 × 217)
    floor (0.517391204833984 × 131072)
    floor (67815.5)     		tx = 67815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521709442138672 × 217)
    floor (0.521709442138672 × 131072)
    floor (68381.5)     		ty = 68381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67815 / 68381 ti = "17/67815/68381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67815/68381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67815 ÷ 217
    67815 ÷ 131072     		x = 0.517387390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68381 ÷ 217
    68381 ÷ 131072     		y = 0.521705627441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517387390136719 × 2 - 1) × π
    0.0347747802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10924819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521705627441406 × 2 - 1) × π
    -0.0434112548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.13638047941906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10924819} λ = 0.10924819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.13638047941906))-π/2
    2×atan(0.87251059700132)-π/2
    2×0.717418331640462-π/2
    1.43483666328092-1.57079632675     		φ = -0.13595966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10924819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.259460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13595966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.789915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67815 KachelY 68381 0.10924819 -0.13595966 6.259460 -7.789915
    Oben rechts KachelX + 1 67816 KachelY 68381 0.10929613 -0.13595966 6.262207 -7.789915
    Unten links KachelX 67815 KachelY + 1 68382 0.10924819 -0.13600716 6.259460 -7.792636
    Unten rechts KachelX + 1 67816 KachelY + 1 68382 0.10929613 -0.13600716 6.262207 -7.792636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13595966--0.13600716) × R
    4.74999999999781e-05 × 6371000     		dl = 302.622499999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13595966--0.13600716) × R
    4.74999999999781e-05 × 6371000     		dr = 302.622499999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10924819-0.10929613) × cos(-0.13595966) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.990771714002586 × 6371000     		do = 302.607183920373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10924819-0.10929613) × cos(-0.13600716) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.990765274678955 × 6371000     		du = 302.605217185187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13595966)-sin(-0.13600716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990771714002586-0.990765274678955)×R²
    abs(0.10929613-0.10924819)×6.43932363164623e-06×R²
    4.79400000000102e-05×6.43932363164623e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×6.43932363164623e-06×40589641000000     		ar = 91575.4449439618m²