Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67815 / 47241
↖ ↑ ↗
← N 44.822760°
E  6.259460°		 ← 216.64 m → N 44.822760°
E  6.262207°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
N 44.820812°
E  6.259460°		 ← 216.64 m →
46 941 m²		 N 44.820812°
E  6.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517391204833984 y=0.360424041748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517391204833984 × 217)
    floor (0.517391204833984 × 131072)
    floor (67815.5)     		tx = 67815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360424041748047 × 217)
    floor (0.360424041748047 × 131072)
    floor (47241.5)     		ty = 47241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67815 / 47241 ti = "17/67815/47241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67815/47241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67815 ÷ 217
    67815 ÷ 131072     		x = 0.517387390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47241 ÷ 217
    47241 ÷ 131072     		y = 0.360420227050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517387390136719 × 2 - 1) × π
    0.0347747802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10924819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360420227050781 × 2 - 1) × π
    0.279159545898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.877005578548927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10924819} λ = 0.10924819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877005578548927))-π/2
    2×atan(2.40369125457759)-π/2
    2×1.17655053596159-π/2
    2.35310107192319-1.57079632675     		φ = 0.78230475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10924819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.259460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78230475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.822760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67815 KachelY 47241 0.10924819 0.78230475 6.259460 44.822760
    Oben rechts KachelX + 1 67816 KachelY 47241 0.10929613 0.78230475 6.262207 44.822760
    Unten links KachelX 67815 KachelY + 1 47242 0.10924819 0.78227074 6.259460 44.820812
    Unten rechts KachelX + 1 67816 KachelY + 1 47242 0.10929613 0.78227074 6.262207 44.820812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78230475-0.78227074) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dl = 216.677710000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78230475-0.78227074) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dr = 216.677710000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10924819-0.10929613) × cos(0.78230475) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.70929076806564 × 6371000     		do = 216.635657711662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10924819-0.10929613) × cos(0.78227074) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.709314741849531 × 6371000     		du = 216.642979922348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78230475)-sin(0.78227074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70929076806564-0.709314741849531)×R²
    abs(0.10929613-0.10924819)×2.39737838917398e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39737838917398e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39737838917398e-05×40589641000000     		ar = 46940.9115017636m²