Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67813 / 68397
↖ ↑ ↗
← S  7.833453°
E  6.253967°		 ← 302.58 m → S  7.833453°
E  6.256714°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
S  7.836174°
E  6.253967°		 ← 302.57 m →
91 547 m²		 S  7.836174°
E  6.256714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517375946044922 y=0.521831512451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517375946044922 × 217)
    floor (0.517375946044922 × 131072)
    floor (67813.5)     		tx = 67813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521831512451172 × 217)
    floor (0.521831512451172 × 131072)
    floor (68397.5)     		ty = 68397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67813 / 68397 ti = "17/67813/68397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67813/68397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67813 ÷ 217
    67813 ÷ 131072     		x = 0.517372131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68397 ÷ 217
    68397 ÷ 131072     		y = 0.521827697753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517372131347656 × 2 - 1) × π
    0.0347442626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10915232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521827697753906 × 2 - 1) × π
    -0.0436553955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.137147469812981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10915232} λ = 0.10915232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137147469812981))-π/2
    2×atan(0.87184164632699)-π/2
    2×0.717038395232812-π/2
    1.43407679046562-1.57079632675     		φ = -0.13671954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10915232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.253967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13671954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.833453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67813 KachelY 68397 0.10915232 -0.13671954 6.253967 -7.833453
    Oben rechts KachelX + 1 67814 KachelY 68397 0.10920026 -0.13671954 6.256714 -7.833453
    Unten links KachelX 67813 KachelY + 1 68398 0.10915232 -0.13676703 6.253967 -7.836174
    Unten rechts KachelX + 1 67814 KachelY + 1 68398 0.10920026 -0.13676703 6.256714 -7.836174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13671954--0.13676703) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dl = 302.558790000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13671954--0.13676703) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dr = 302.558790000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10915232-0.10920026) × cos(-0.13671954) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990668432938218 × 6371000     		do = 302.575639224772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10915232-0.10920026) × cos(-0.13676703) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990661959218764 × 6371000     		du = 302.573661984217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13671954)-sin(-0.13676703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990668432938218-0.990661959218764)×R²
    abs(0.10920026-0.10915232)×6.47371945383668e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.47371945383668e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.47371945383668e-06×40589641000000     		ar = 91546.6201887753m²