Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67812 / 69668
↖ ↑ ↗
← S 11.275387°
E  6.251221°		 ← 299.53 m → S 11.275387°
E  6.253967°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
S 11.278080°
E  6.251221°		 ← 299.53 m →
89 709 m²		 S 11.278080°
E  6.253967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517368316650391 y=0.531528472900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517368316650391 × 217)
    floor (0.517368316650391 × 131072)
    floor (67812.5)     		tx = 67812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531528472900391 × 217)
    floor (0.531528472900391 × 131072)
    floor (69668.5)     		ty = 69668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67812 / 69668 ti = "17/67812/69668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67812/69668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67812 ÷ 217
    67812 ÷ 131072     		x = 0.517364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69668 ÷ 217
    69668 ÷ 131072     		y = 0.531524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517364501953125 × 2 - 1) × π
    0.03472900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10910438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.06304931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.198075269230072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10910438} λ = 0.10910438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198075269230072))-π/2
    2×atan(0.820308106854438)-π/2
    2×0.687001852289512-π/2
    1.37400370457902-1.57079632675     		φ = -0.19679262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10910438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.251221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19679262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.275387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67812 KachelY 69668 0.10910438 -0.19679262 6.251221 -11.275387
    Oben rechts KachelX + 1 67813 KachelY 69668 0.10915232 -0.19679262 6.253967 -11.275387
    Unten links KachelX 67812 KachelY + 1 69669 0.10910438 -0.19683963 6.251221 -11.278080
    Unten rechts KachelX + 1 67813 KachelY + 1 69669 0.10915232 -0.19683963 6.253967 -11.278080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19679262--0.19683963) × R
    4.70099999999862e-05 × 6371000     		dl = 299.500709999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19679262--0.19683963) × R
    4.70099999999862e-05 × 6371000     		dr = 299.500709999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10910438-0.10915232) × cos(-0.19679262) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980698743678425 × 6371000     		do = 299.53063950503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10910438-0.10915232) × cos(-0.19683963) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980689550970724 × 6371000     		du = 299.527831815478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19679262)-sin(-0.19683963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980698743678425-0.980689550970724)×R²
    abs(0.10915232-0.10910438)×9.19270770105562e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.19270770105562e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.19270770105562e-06×40589641000000     		ar = 89709.2187624794m²