Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67812 / 47235
↖ ↑ ↗
← N 44.834448°
E  6.251221°		 ← 216.59 m → N 44.834448°
E  6.253967°		 →
↑
216.55 m
↓
↑
216.55 m
↓
N 44.832500°
E  6.251221°		 ← 216.60 m →
46 904 m²		 N 44.832500°
E  6.253967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517368316650391 y=0.360378265380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517368316650391 × 217)
    floor (0.517368316650391 × 131072)
    floor (67812.5)     		tx = 67812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360378265380859 × 217)
    floor (0.360378265380859 × 131072)
    floor (47235.5)     		ty = 47235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67812 / 47235 ti = "17/67812/47235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67812/47235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67812 ÷ 217
    67812 ÷ 131072     		x = 0.517364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47235 ÷ 217
    47235 ÷ 131072     		y = 0.360374450683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517364501953125 × 2 - 1) × π
    0.03472900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10910438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360374450683594 × 2 - 1) × π
    0.279251098632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.877293199946648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10910438} λ = 0.10910438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877293199946648))-π/2
    2×atan(2.40438270704941)-π/2
    2×1.17665252922257-π/2
    2.35330505844514-1.57079632675     		φ = 0.78250873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10910438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.251221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78250873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.834448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67812 KachelY 47235 0.10910438 0.78250873 6.251221 44.834448
    Oben rechts KachelX + 1 67813 KachelY 47235 0.10915232 0.78250873 6.253967 44.834448
    Unten links KachelX 67812 KachelY + 1 47236 0.10910438 0.78247474 6.251221 44.832500
    Unten rechts KachelX + 1 67813 KachelY + 1 47236 0.10915232 0.78247474 6.253967 44.832500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78250873-0.78247474) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dl = 216.55029000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78250873-0.78247474) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dr = 216.55029000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10910438-0.10915232) × cos(0.78250873) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.709146964539245 × 6371000     		do = 216.591736413136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10910438-0.10915232) × cos(0.78247474) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.709170929142595 × 6371000     		du = 216.599055819848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78250873)-sin(0.78247474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709146964539245-0.709170929142595)×R²
    abs(0.10915232-0.10910438)×2.39646033497465e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39646033497465e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39646033497465e-05×40589641000000     		ar = 46903.7958462512m²